Was muss man hier machen?

Question

Aufgabe: Wie kommt man auf das Ergebnis „1/2“. ? Also ich weiß nicht mit welcher Formel man hier vorgeht.

Problem/Ansatz: Wie geht man hier vor?

Text erkannt:

(c) Es seien \( X_{1}, X_{2}, \ldots \) unabhängig und identisch Bernoulli-verteilte Zufallsvariablen mit Parameter \( \pi=\frac{1}{2} \). Es sei die Summe
\( Z_{n}:=\frac{1}{\sqrt{n}} \sum \limits_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\frac{1}{2}\right) \)
gegeben.
(i) Bestimmen Sie \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} P\left(Z_{n} \geq 0\right) \).
(2 Punkte)

Text erkannt:

(i) Mithilfe des Satzes von Moivre-Laplace ergibt sich \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} P\left(Z_{n} \geq 0\right)=\frac{1}{2} \).

Answer 1

Schlag nach, was der Satz von Moivre-Laplace aussagt.

Die Summe unabhängig identisch bernoulli-verteilter ZV ist binomialverteilt mit Parameter \(n\) und \(p\). Weiterhin gilt \(\lim_{n\rightarrow \infty} P(\frac{S_n-\mu}{\sigma}\leq t)=\Phi(t)\) für alle \(t\in\mathbb{R}\). Jetzt gilt aber gerade \(Z_n=\frac{S_n-\mu}{\sigma}\) (warum?), so dass du nur wissen musst, was \(\Phi(0)\) ist.