Zusammenhänge von Unterräumen (Lineare Algebra)

Question

Hi,

ich hätte mal eine Frage

Wenn U1 und U2 zwei lineare Unterräume eines Vektorraumes V = U1 + U2 sind und der Schnitt beider Räume der Nullraum ist, ist dann auch die Menge {(u1,u2) aus U1 x U2 : u1 + u2 = 0} der Nullraum? Und wenn ja, warum?

Answer 1

Für deine Menge soll ja \(u_1+u_2=0\) gelten. Das bedeutet aber, dass \(u_1=-u_2\) ist. Für \(v\in U\), ist auch \(-v\in U\), wenn \(U\) ein UVR ist. Also sind \(u_1,u_2\in U_1\cap U_2\).

Comments

Also gilt das?

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Wenn \(u_1\) und \(u_2\) im Schnitt sein müssen, dann...?

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Was genau meinst Du?

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Na, was folgt dann für \(u_1\) und \(u_2\)? Welche Werte können sie annehmen? Ist der Beweis und die daraus resultierende Schlussfolgerung für deine Frage nicht klar?

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Also die Menge enthält alle Paare (u1,u2) aus U1 x U2, die die Gleichung u1 + u2 = 0 erfüllen. Also umformuliert, enthält die Menge alle u1 aus U1 und u2 aus U2, welche u1 + u2 = 0 <=> u1 = -u2 erfüllen. Da u2 in U2 ist und U2 lin. Unterraum, ist auch -u2 = u1 in U2. Analog ist dann auch u1 in U2. Somit folgt u1,u2 aus dem Schnitt und da der Schnitt ja der Nullraum sein soll, gilt (u1,u2) = (0,0)

Richtig?

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Na, geht doch. :)

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Danke!

Noch eine letzte Frage hätte ich:

Gilt das auch für die andere Richtung?

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Mit \(U_1=\mathbb{R}^{\geq 0}\) und \(U_2=\mathbb{R}^{\leq 0}\) dürfte das schiefgehen, weil das keine UVR über \(\mathbb{R}\) sind.

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ich mein, gilt durch {(u1,u2) | u1 + u2 = 0} = {0} und dadurch das U1 und U2 lineare Unterräume von einem Vektorraum V = U1 + U2 dann auch, das der Schnitt der Nullraum ist.

Mein Argument wäre:

Sei ja {(u1,u2) | u1 + u2 = 0} = {0}, d.h. u1 = -u2 und u2 = -u1 <=> u1 = u2 = 0.

Es ist dann ja also auch u1 aus U1 und wegen der UVR-Eigenschaft -u1 = u2 aus U1 und analog u2 aus U2 und hier dann auch -u2 = u1 aus U1, wenn insgesamt immernoch u1 = u2 = 0 ist.

Daraus folgt dann u1,u2 aus U1 Schnitt U2 <=> u1 = u2 = 0, was dann die Behauptung impliziert.

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Ah, du setzt also auch Voraus, dass die Teilräume UVR sind. Dann passt mein Beispiel natürlich nicht.

Dein Beweis ist so gar nicht notwendig. Denn der Schnitt zweier Untervektorräume ist wieder ein Untervektorraum und die 0 ist immer enthalten. Es müsste also gezeigt werden, dass keine weiteren Elemente im Schnitt enthalten sind. Wäre also \(v\neq 0\) im Schnitt enthalten, dann müsste wegen der UVR-Eigenschaft auch \(-v\) im Schnitt enthalten sein. Dann ist aber \((v,-v)\) ein Element der obigen Menge wegen \(v+(-v)=0\).

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Super, ich danke Dir!