Question

Wie kann ich intuitiv den Unterschied zwischen Zufallsvariable X, Wertebereich X und Wert x verstehen, sodass ich dieses Verständnis bei theoretischen und langen Formeln immer noch anwenden kann?

Außerdem: https://www.matheretter.de/rechner/latex?tex=Pr%20(X%20Element%20A)%…

Hier verstehe, "die Wahrscheinlichkeit dass Zufallsvariable X ein Element der Menge A ist. Also A ist irgendeine Menge zum Beispiel {,3,4} und X ist auch eine Menge? z.B. {1,2,3,4,} und der Wertebereich von X ist auch eine Menge zum Beispiel bei einem Würfel {1,2,3,4,5,6} ist das so richtig?

Und bei zweiten Teil verstehe ich nicht, warum es sich auf die Summe von dem X für Zufallsfallvariable und nicht dem kalligraphischen X für Wertebereich bezieht. Ehrlich gesagt verstehe ich den rechten Teil so nicht.

Text erkannt:

$\operatorname{Pr}(X \in A)=\sum \limits_{x \in A} \operatorname{Pr}(X=x)$

Comments

Vielleicht erklärst du uns mal, was "Pr" bedeutet.

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Pr wurde als die Wahrscheinlichkeit bezeichnet

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https://www.studyhelp.de/online-lernen/mathe/zufallsvariablen-und-ve…

Answer 1

Eine Zufallsvariable $X$ ist eine Funktion $X: \Omega \rightarrow E$, die ein Ergebnis des Ergebnisraums $\Omega$ auf ein Element der Menge $E$ abbildet. Das können zum Beispiel die natürlichen, ganzen oder reellen Zahlen sein. Der Wertebereich gibt nun an, welche Werte die Zufallsvariable alle annehmen kann. Anstelle von $X(\omega)=a$ schreibt man kurz aber nur $X=a$. Man nennt die Werte aus $E$ auch Realisierungen der Zufallsgröße.

Die Notation $X\in A$ bedeutet nun, dass eine Realisierung von $X$ in $A$ liegt, das heißt, dass $X$ einen Wert annimmt, der in der Menge $A$ liegt. Da die einzelnen Realisierungen der Zufallsgröße aber "disjunkt" sind, das heißt, entweder ist $X=a$ oder $X=b$ und nicht beides, bekommt man die Wahrscheinlichkeit für $X\in A$, indem man über jede Realisierung $X=a$ aufsummiert für jedes $a\in A$.

Beispiel: Wurf mit einem fairen Würfel.

$X:\text{Augenzahl}$ ist die Zufallsgröße

$\Omega=\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ist der Ergebnisraum.

Der Wertebereich stimmt hier mit dem Ergebnisraum überein. Das muss aber nicht immer so sein.

$A=\{2,3,5\}$ ist eine vorgegebene Menge (man würfelt eine Primzahl könnte z.B. das Ereignis lauten).

Dann ist $P(X\in A)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=5)$, also die Wahrscheinlichkeit, eine Primzahl zu würfeln, setzt sich zusammen aus den Einzelwahrscheinlichkeiten, eine 2, 3 oder 5 zu würfeln.

Klar soweit? Wenn noch Fragen sind, frag nach. :)

Comments

So wie ich es verstehe bezeichnet die Zufallsvariable "X" das Ereignis des Wurfes bevor es passiert ist und Wert "x" das Ereignis des Wurfes wenn sich bereits realisiert hat. Kann man dann "x" auch als Realisierung bezeichnen?

Und Wertebereich und Ergebnisraum sind nicht dasselbe, weil der Ergebnisraum wirklich nur die 6 natürlichen Ergebnisse beinhaltet, die beim Würfeln entstehen können, während man für den Wertebereich noch andere Ergebnisse definieren kann wie bei einem Wurf eine 1 oder eine Zwei zu würfeln?

Es ist schwierig sich hier auszudrücken, weil viele Begriffe schon belegt zu sein scheinen.

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Die Realisierung beschreibt das Ergebnis, nicht das Ereignis. Das bitte unterscheiden. Aber ja, ich habe hier anstelle von $x$ einfach $a$ genutzt.

Das sind dann keine Ergebnisse, sondern Ereignisse. Warum Wertebereich und Ergebnisraum nicht gleich sein müssen, kann man anhand eines einfachen Beispiels sehen: $X:\text{Anzahl der gewürfelten 6en}$. Wenn wir die Zufallsgröße umändern, dann ist klar, dass bei einfachem Wurf der Wertebereich von $X$ nur die Menge $\{0,1\}$ ist, denn entweder würfle ich keine 6 oder genau eine 6.

Die Begriffe haben aber eine eindeutige Bedeutung. So ist ein Ereignis etwas anderes als ein Ergebnis. Der Wertebereich ist die Menge aller Werte, die $X$ annehmen kann und der Ergebnisraum ist die Menge aller Werte, die das zugrundeliegende Zufallsexperiment liefern kann.

Answer 2

Evtl. noch ein Beispiel um den Ergebnisraum und den Wertebereich einer Zufallsvariablen besser zu erklären.

Eine Münze wird dreimal geworten. Die Zufallsgröße X ist die Anzahl an Kopfwürfen. Stelle den Ergebnisraum und den Wertebereich der Zufallsvariablen auf

Ergebnisraum: Ω = {KKK, KKZ, KZK, KZZ, ZKK, ZKZ, ZZK, ZZZ}

KKK kann dabei auch als Triple (K, K, K) geschrieben werden, worauf ich verzichte, weil das den Ergebnisraum sehr unübersichtlich macht.

Wertebereich der Zufallsvariablen X für die Anzahl an Kopfwürfen: X = {0, 1, 2, 3}

Ich hoffe, das macht das etwas anschaulicher.