Eine Zufallsvariable \(X\) ist eine Funktion \(X: \Omega \rightarrow E\), die ein Ergebnis des Ergebnisraums \(\Omega\) auf ein Element der Menge \(E\) abbildet. Das können zum Beispiel die natürlichen, ganzen oder reellen Zahlen sein. Der Wertebereich gibt nun an, welche Werte die Zufallsvariable alle annehmen kann. Anstelle von \(X(\omega)=a\) schreibt man kurz aber nur \(X=a\). Man nennt die Werte aus \(E\) auch Realisierungen der Zufallsgröße.
Die Notation \(X\in A\) bedeutet nun, dass eine Realisierung von \(X\) in \(A\) liegt, das heißt, dass \(X\) einen Wert annimmt, der in der Menge \(A\) liegt. Da die einzelnen Realisierungen der Zufallsgröße aber "disjunkt" sind, das heißt, entweder ist \(X=a\) oder \(X=b\) und nicht beides, bekommt man die Wahrscheinlichkeit für \(X\in A\), indem man über jede Realisierung \(X=a\) aufsummiert für jedes \(a\in A\).
Beispiel: Wurf mit einem fairen Würfel.
\(X:\text{Augenzahl}\) ist die Zufallsgröße
\(\Omega=\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) ist der Ergebnisraum.
Der Wertebereich stimmt hier mit dem Ergebnisraum überein. Das muss aber nicht immer so sein.
\(A=\{2,3,5\}\) ist eine vorgegebene Menge (man würfelt eine Primzahl könnte z.B. das Ereignis lauten).
Dann ist \(P(X\in A)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=5)\), also die Wahrscheinlichkeit, eine Primzahl zu würfeln, setzt sich zusammen aus den Einzelwahrscheinlichkeiten, eine 2, 3 oder 5 zu würfeln.
Klar soweit? Wenn noch Fragen sind, frag nach. :)
