Wie können die folgenden Abbildungen sind auf Injektivität und Surjektivität untersucht werden?

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die folgenden Abbildungen auf Injektivität und Surjektivität:

f3: R2-> R2 ; (x,y)=(3x+y,y−2x)

und

f4: R2->R3; (x;y) -> (x2,y,x+y2)

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht, wie ich die beiden Aufgaben lösen kann.

Answer 1

Surjektiv bedeutet, dass du jedes Element aus dem Zielbereich triffst. Überlege dir, ob du im ersten Fall also jedes Element des $\mathbb{R} ^2$ darstellen kannst. Das gleiche machst du im zweiten Fall für den $\mathbb{R} ^3$.

Injektiv bedeutet, dass jedes Bild ein eindeutiges Urbild hat. Überlege dir also, ob du ein Element aus dem Zielbereich auf mehr als auf eine Weise abbilden kannst. Bei der zweiten Abbildung könnten die Quadrate problematisch sein.

Kommst du damit schon weiter?

Comments

danke für die Hilfe, bin mir nicht ganz sicher ob ich die Aufgabe richtig gelöst habe:

für ein beliebiges paar (a,b):

(3x+y,y-2x)=(a,b)

a=3x+y

b=y-2x

durch umformen x=(a-b)/5

y=b+2*(a-b)/5

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Ich glaube, das $y$ stimmt nicht ganz. Aber ja, der Ansatz ist richtig. Was hast du dann damit gezeigt?