Zeigen Sie die quadratische Konvergenz (Newton Verfahren).

Question

Aufgabe:

Der natürliche Logarithmus ln(x) soll an einer Stelle x = a > 0 näherungsweise berechnet werden. Verwenden Sie hierzu das Newton Verfahren zur Berechnung einer Nullstelle der Funktion

f(x) = e^x - a

a) Geben Sie die Iterationsvorschrift an.

b) Zeigen Sie die quadratische Konvergenz.

Problem/Ansatz:

a) x_n+1 = x_n - \( \frac{e^x - a}{e^x} \)

b) Ich weiß nur, dass man das Ganze irgendwie mit dem Taylorpolynom zweiten Grades herausfinden soll, aber ich weiß nicht, wie.

Answer 1

a) Die Iteration Vorschrift stimmt nicht, lies genau.

b) Schreib grundsätzlich (nicht nur hier!) auf, was zu zeigen ist. Setze die Gegebenheiten hier ein. Erst dann kann man hoffen mit dem Beweis anfangen zu können.

Comments

Also bei der a) soll nur stehen:
x_n+1 = x_n - f(x_n)/f'(x_n)?

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Nach einem Satz aus dem Skript soll man eine Funktion g(x_n) = x_n+1 aufstellen.

g(x_n) = x_n - \( \frac{e^x - a}{e^x} \)
Dann muss gezeigt werden, dass g(a) = g'(a) = 0 gilt und g''(a) ≠ 0. Dann konvergiert das mit der Ordnung 2 gegen a.

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Mach erst a) richtig. Lies genau. Wir brauchen die Funktion g, z. B. in der Form g(x).

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g(x) = x - \( \frac{e^x -x}{e^x} \) ?

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Aha.. Mich stört nur das Fragezeichen weil das darauf hindeutet, dass du das Konzept der Iteration noch nicht verstanden hast. Schau dir Beispiele in deinen Unterlagen an.

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In meinen Unterlagen steht

[...] aus der Newton-Iteration x_n = x_n-1 - \( \frac{f(xn)}{f'(xn)} \), dass...
Dann wäre doch die Iteration richtig angegeben, wenn ich für f und f' entsprechend einsetze oder verstehe ich das falsch?

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Auf der rechten Seite sollte in Deinen Unterlagen stehen: \(... -\frac{f(x_{n-1}}{f'(x_{n-1})}\). Wenn nicht, verbessere das.

Allgemein eben \(x_n=g(x_{n-1})\), woraus man die Funktion \(g\) abliest.

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Also ist g(x) = x - \( \frac{e^x - x}{e^x} \). Jetzt soll gezeigt werden, dass g(a) = g'(a) = 0 ≠ g''(a) ist?

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Ja genau. Auf geht's.

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g(a) = a - \( \frac{e^a - a}{e^a} \)

g'(a) = \( \frac{e^a - a + 1}{e^a} \)

g''(a) = \( \frac{a-2}{e^a} \)

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Du bringst die Variablen durcheinander.

Berechne g'(x) usw. und setze danach(!) a ein.

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g'(x) = \( \frac{e^x -x+1}{e^x} \)
g''(x) = \( \frac{x-2}{e^x} \)

Und dann a einsetzen?

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Wieso die ganze Zeit "a einsetzen". a ist doch ein Parameter der Aufgabenstellung?

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Sorry, hab nicht aufgepasst. Dein g(x) stimmt nach wie vor nicht.

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@mathhilf s.o., Kriterium für quadratische Konvergenz.

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Die Bedingungen an g müssen doch an der Lösung ausgewertet werden, also am Fixpunkt von g?

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Wie muss denn g(x) dann aussehen?

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@mathhilf du hast natürlich recht, es geht nicht um a, sondern um die Lösung. Aber erstmal brauchen wir das richtige g.

@123vier mit Raten kommst du nicht weiter. Oben hab ich dir erklärt, wie man g(x) erhält ("auf der rechten Seite..."). Du musst nur genau auf jedes Zeichen achten (ja, ich auch, sorry für die Verwirrung oben).

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g(x) = x - \( \frac{e^x - a}{e^x} \)

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Jetzt stimmt's wirklich.

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Dann wäre

g(x) = x - \( \frac{e^x - a}{e^x} \)
g'(x) = \( \frac{e^x - a}{e^x} \)
g''(x) = \( \frac{a}{e^x} \)

Aber wenn ich da a einsetze.. warum sollte dann z.B. g(a) = 0 gelten?

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mathhilf hat zurecht darauf hingewiesen, dass es nicht um a geht. Ich habe das auch nochmal bestätigt. Daher dachte ich, das wäre geklärt?!

Lies die Def. der quadratischen Konvergenz nochmal genau und überleg Dir, welche Stelle man einsetzen muss.

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Muss man ln(a) einsetzen

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Rätst Du wieder? In den Definitionen und Sätzen steht alles eindeutig festgelegt.

Auch wenn Du das Fragezeichen nicht schreibst, sehe ich es trotzdem ;-)

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Ich glaube, dass man ln(a) einsetzen muss. Ist das, was die Aufgabenstellung hergibt.

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Ja, dann mach es doch.

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g(ln(a)) = ln(a)
g'(ln(a)) = 0
g''(ln(a)) = 1

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Und? Prüfe genau, was in der von Dir zitierten Aussage (ganz oben) zur quadr. Konvergenz steht. Lade diese gerne als Foto hoch.