Ich hätte gesagt, dass man beide Aufgaben widerlegen kann, indem man Matrizen verwendet, die negative Einträge …

Question

Aufgabe:

Sei || · || : ℝ^nxn → ℝ₊ die Zeilensummennorm und A,B ∈ℝ^nxn.

Beweisen oder widerlegen Sie:

a) ||A+B|| = ||A|| + ||B||.
b) ||A|| < ||B||, wenn alle Matrixeinträge a_ij < b_ij gilt.

Problem/Ansatz:

Ich hätte gesagt, dass man beide Aufgaben widerlegen kann, indem man Matrizen verwendet, die negative Einträge haben, oder?

Comments

Dann probier es doch aus. Im Falle des Widerlegens sollst Du konkrete Matrizen angeben, auf geht's.

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für a) A= \( \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \)
B = \( \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \)
||A|| = 2 = ||B||

||A+B|| = 0

für b) A= \( \begin{pmatrix} -3 & -2 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \)

B= \( \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)

||A|| = 5
||B|| = 3

aber aij < bij

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Deine Beispiele sind korrekt. Es geht aber vielleicht auch einfacher:

$$A = \left( -2 \right) \newline B = \left( 1 \right)$$

Answer 1

Ich hätte gesagt, dass man beide Aufgaben widerlegen kann, indem man Matrizen verwendet, die negative Einträge haben, oder?

Das ist richtig. Es sollte dir nicht schwer fallen ein Gegenbeispiel zu finden und zu verwenden. Beschränke dich also möglichst auf keine n wie 1 oder2 :)

Answer 2

Deine Beispiele passen, gut.

Du solltest aber schon erklärende Worte hinzufügen. Insb. ob Du nun beweist oder widerlegst.

Und nächstes Mal rechne doch erstmal selbst los. Wenn dann Probleme auftauchen, kannst Du gerne fragen. Den Startschuss kannst Du Dir aber selbst geben.