Berechnen Sie die LR-Zerlegung der Koeffizientenmatrix und geben Sie die Matrizen \mathbf{r} .

Question

Aufgabe:

Gegeben ist folgendes Gleichungssystem:
\( \begin{aligned} -x_{1}+8 x_{2}+3 x_{3} &=2 \\ 2 x_{1}+4 x_{2}-x_{3} &=1 \\ -2 x_{1}+x_{2}+2 x_{3} &=-1 \end{aligned} \)
Berechnen Sie die LR-Zerlegung der Koeffizientenmatrix und geben Sie die Matrizen \( \mathbf{r} \). und \( \mathbf{L} \) explizit an

Problem/Ansatz:
Wie lautet die Matrix, die ich zerlegen soll hier?

Ich glaube zu wissen, dass L einfach ein Teil der Matrix ist mit 0 überhalb der Hauptdiagonale - gibt es eine Methode, R "einfach" zu gewinnen, oder muss ich wirklich schauen, was mit L multipliziert die ursprüngliche Matrix ergeben würde?

Answer 1

\( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\2 &  -0,75 & 1 \end{pmatrix}  \cdot \begin{pmatrix} -1 & 8 & 3 \\ 0 & 20 & 5 \\0 &  0 & -0,25 \end{pmatrix} \)

Du kannst L und R simultan bestimmen, siehe etwa

https://mxncalc.com/de/lu-factorization

Comments

Danke, komme auch auf das Gleiche jetzt!

Answer 2

Hier verschiende Verfahren zur LR-Zerlegung mit und ohne Pivotsuche

https://www.geogebra.org/m/BpqJ28eP#chapter/206723

u.U. auch ein Verfahren auf einem einzigen Matrixfeld.

mit Spaltenpivotsuche

L R = P A

\( \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\\frac{-1}{2}&1&0\\-1&\frac{1}{2}&-1\\\end{array}\right) \; \left(\begin{array}{rrr}2&4&-1\\0&10&\frac{5}{2}\\0&0&\frac{1}{4}\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\\\end{array}\right) \, \left(\begin{array}{rrr}-1&8&3\\2&4&-1\\-2&1&2\\\end{array}\right)   \)