Zeigen Sie, dass die Gleichung auf dem Intervall genau eine Lösung besitzt.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Gleichung x³ - 2x² -e^-x = 0 auf dem Intervall [2,3] genau eine Lösung x* besitzt.

f(x) = x³ - 2x² -e^-x

Problem/Ansatz:

Kann man sagen, dass die Funktion stetig ist und dadurch, dass f(2) < 0 < f(3) gilt, mithilfe des Zwischenwertsatzes sagen, dass es mindestens eine Nullstelle gibt? Dadurch, dass die Ableitung im Intervall [2,3] streng monoton steigend ist, kann es ja nur eine Nullstelle geben oder?

Comments

Welche Bedeutung hat x mit Stern ?

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... auf dem Intervall genau eine Lösung x* besitzt.

Was ist das Intervall?

Nachtrag: Danke für Deine nachträgliche Korrektur der Aufgabe.

Welche Bedeutung hat x mit Stern ?

In der Aufgabe steht, das ist die genau eine Lösung von x³ - 2x² -e^-x = 0

Answer 1

f(x) = x^3 - 2·x^2 - e^(-x)

f'(x) = 3·x^2 - 4·x + e^(-x)
f'(x) = 3·x·(x - 4/3) + e^(-x)

Die Ableitung f' ist im Intervall [2 ; 3] stets positiv weshalb f in diesem Intervall streng monoton steigend ist.

Da f(2) < 0 < f(3) gilt, muss es genau eine Nullstelle geben.

Answer 2

Dadurch, dass die Ableitung im Intervall [2,3] streng monoton steigend ist,

Daraus würde nur folgen, dass die Funktion im Intervall linksgekrümmt ist.

Sollte nicht vielmehr die Funktion selbst in dem Intervall monoton steigend sein?

Comments

Entschuldigung. Ich meinte, dass die Ableitung im Intervall > 0 ist und dadurch die Funktion streng monoton steigend ist.