Mit Zwischenwertsatz zeigen, dass f(x) = ln(x) + 2 - x mindestens zwei Nellen besitzt. Mit von Rolle: höchstens

Question

Hey:)

Wie gehe ich hier um? Ich hab ja nicht direkt ein Intervall ...

Answer 1

Hallo Sonnenblume,

f: ℝ⁺ → ℝ ,  f(x) = ln(x) + 2 - x

da f stetig ist, gibt es wegen

 f(0,1) < 0   und  f(1) > 0  und  f(5) < 0

nach dem Zwischenwertsatz in den Intervallen ] 0,1 ; 1 [  und  ] 1; 5 [  jeweils mindestens eine Nullstelle von f, also  mindestens zwei Nullstellen 

Nach dem Satz von Rolle

          https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Rolle        (2. Interpretation)

muss zwischen je zwei Nullstellen von f  mindestens eine Nullstelle der Ableitung liegen.

f '(x)  = 1/x - 1 = 0  ⇔   x = 1

f '  hat also nur eine Nullstelle  →  f  hat  höchstens zwei Nullstellen

→  f  hat  genau 2 Nullstellen 

Gruß Wolfgang

Comments

Meinst du bei f(0,1)<0 nur die 0 oder was genau? :)

Weil eigentlich darf ich ja nicht 0 in den ln einsetzen:)

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 0,1   ist die Dezimalzahl von 1/10

f(0,1) = f (1/10) ist also einfach der Funktionswert an der Stelle x = 0,1

 f(0,1) ≈ - 0,4

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Und wie kommst du genau auf folgende Folerung?

f '  hat also nur eine Nullstelle  →  f  hat höchstens eine Nullstelle

→  f  hat  genau 2 Nullstellen 

Weil das widerspricht sich ja

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f '  hat also nur eine Nullstelle  →  f  hat höchstens zwei Nullstellen

Sorry, habe "gepastet" und anschließend die Abänderung vergessen.  

Habe es in der Antwort korrigiert.