Das \(m\)-te Restglied ist die Differenz zwischen Funktion \(f(t)\) und ihrem \(m\)-ten Taylorpolynom um die Stelle \(a\): $$R_a^mf(t):=f(t)-T_a^mf(t).$$ Nach Konstruktion stimmt \(f(t)\) mit \(T_a^mf(t)\) an der Stelle \(a\) bis zur \(m\)-ten Ordnung ueberein: $$\frac{d^k}{dt^k}R_a^mf(t)\Bigg|_{t=a}=0\quad(k=0,1,\ldots,m).$$ Damit hast Du alles beisammen, um \(h^{(k)}(a)\) für \(k=0,1,\ldots,m\) auszurechnen. Die Formel für \(h(t)\) sollte man bei dieser komischen Notation besser so schreiben: $$h(t):=\left[R_a^mf(t)\right](x-a)^{m+1}-\left[R_a^mf(x)\right](t-a)^{m+1}.$$
