Aloha :)
Die Fläche \(F\) wird durch folgenden Ortsvektor abgetastet:$$\vec r(u;v)=\begin{pmatrix}\red x\\\green y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\red{\sin u\cos v}\\\green{\sin u\sin v}\\u\end{pmatrix}\quad\text{mit}\quad u\in[0;\pi]\;;\;v\in[0;2\pi]$$
Das Flächenelement \(d\vec f=\vec n\cdot dA\) ist daher:$$d\vec f=\left(\frac{\partial\vec r}{\partial u}\,du\right)\times\left(\frac{\partial\vec r}{\partial v}\,dv\right)=\begin{pmatrix}\cos u\cos v\\\cos u\sin v\\1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-\sin u\sin v\\\sin u\cos v\\0\end{pmatrix}\,du\,dv$$$$\phantom{d\vec f}=\begin{pmatrix}-\sin u\cos v\\-\sin u\sin v\\\sin u\cos u\end{pmatrix}\,du\,dv=\begin{pmatrix}-\cos v\\-\sin v\\\cos u\end{pmatrix}\,\sin u\,du\,dv$$
Damit können wir das gesuchte Integral wie folgt formulieren:$$\phi=\iint\limits_F\vec K\,d\vec f=\int\limits_{u=0}^\pi\;\int\limits_{v=0}^{2\pi}\begin{pmatrix}\green{y=\sin u\sin v}\\\red{x=\sin u\cos v}\\0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-\cos v\\-\sin v\\\cos u\end{pmatrix}\,\sin u\,du\,dv$$$$\phantom\phi=\int\limits_{u=0}^\pi\;\int\limits_{v=0}^{2\pi}\begin{pmatrix}\sin v\\\cos v\\0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-\cos v\\-\sin v\\\cos u\end{pmatrix}\,\sin^2 u\,du\,dv$$$$\phantom\phi=\int\limits_{u=0}^\pi\;\int\limits_{v=0}^{2\pi}-2\sin v\cos v\,\sin^2 u\,du\,dv$$$$\phantom\phi=-\int\limits_0^\pi\underbrace{\left(\frac12-\frac12\sin(2u)\right)}_{=\sin^2u}du\int\limits_0^{2\pi}2\sin v\cos v\,dv$$$$\phantom\phi=\left[\frac u2+\frac14\cos(2u)\right]_0^\pi\cdot\underbrace{\left[\sin^2v\right]_0^{2\pi}}_{=0}=0$$
