Bestimmen Sie das Doppelintegral

Question

Aufgabe:

Man berechne folgendes Integral:
$$\int \limits\int \limits_{F}(y-z) dA$$
Die Fläche wird beschrieben durch:

$$\vec{x}(u,v)=\begin{pmatrix} u^2\\u+v\\v \end{pmatrix}.......u\leq0 \leq1, \le v\leq2.$$
Problem/Ansatz:

Bitte um Hilfe.

Lg Richard

Comments

Du hast doch schon mehrere Frsgen dieser Art gestellt. Wann willst Du anfangen, selbst etwas beizutragen?

Du könntest die Definition dieses Integrals in Deinem Lehrmaterial nachschauen oder schonmal das Flächenelement berechnen...

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$$df=\begin{pmatrix} 1\\-2u\\2u \end{pmatrix}$$

$$\int \limits_{0}^{1}\int \limits_{0}^{2}u*\begin{pmatrix} 1\\-2u\\2u \end{pmatrix}du=2*\int \limits_{0}^{1}udu=1$$

Bisher hatte ich es so.

Ist der Ansatz richtig?

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Ob der Ansatz richtig ist, kannst nur Du wissen, weil es auf die Bezeichnungen aus Eurer Vorlesung ankommt. Wenn ich allerdings von meiner Erfahrung ausgehe, dann ist eher zu berechnen

$$\int_{...}\int_{...} u\|df(u,v)\|d(u,v)$$

Answer 1

Aloha :)

Die Fläche \(F\) wird durch folgenden Vektor abgetastet:$$\vec r(u;v)=\begin{pmatrix}u^2\\u+v\\v\end{pmatrix}\quad;\quad u\in[0;1]\;;\;v\in[1;2]$$

Das Flächenelement \(d\vec A\) lautet also:$$d\vec A=\left(\frac{\partial\vec r}{\partial u}\,du\right)\times\left(\frac{\partial\vec r}{\partial v}\,dv\right)=\begin{pmatrix}2u\\1\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}du\,dv=\begin{pmatrix}1\\-2u\\2u\end{pmatrix}du\,dv$$Der Betrag ist daher:$$dA=\sqrt{1+8u^2}\,du\,dv$$

Das führt uns schließlich auf das Integral:$$I=\iint_F(y-z)\,dA=\int\limits_{u=0}^1\;\int\limits_{v=1}^2(\underbrace{(u+v)}_{=y}-\underbrace{v}_{=z})\,\sqrt{1+8u^2}\,du\,dv$$$$\phantom I=\int\limits_{v=1}^2dv\cdot\frac{1}{16}\int\limits_{u=0}^116u\sqrt{1+8u^2}\,du=\left[v\right]_1^2\cdot\frac{1}{16}\left[\frac23(1+8u^2)^{\frac32}\right]_0^1$$$$\phantom I=(2-1)\cdot\frac{1}{24}\left(9^{\frac32}-1^{\frac32}\right)=\frac{1}{24}\left(27-1\right)=\frac{13}{12}$$