Es werde die folgenden Stammfunktionen bei konstantem \(c\) benutzt:
\(\int \sqrt{c+t} dt = \int (c+t)^{\frac 12}\, dt = \frac 23 (c+t)^{\frac 32} \)
\(\int (t+c)^{\frac 32} dt = \frac 25 (c+t)^{\frac 52} = (c+t)^2\sqrt{c+t}\)
Beides sind Spezialfälle der Regel \(\int x^a dx = \frac 1{1+a}x^{1+a}\) für \(a\neq -1\).
Nun zur Rechnung selbst:
Zuerst wird das innere Integral über \({\color{orange}{y}}\) berechnet. Dabei wird \(1+x\) wie eine Konstante behandelt:
\(\int_1^2 \sqrt{1+x+{\color{orange}{y}}}\,{\color{orange}{dy}} = \int_1^2(1+x+{\color{orange}{y}})^{\frac 12}{\color{orange}{dy}} = \left.\frac 23 (1+x+{\color{orange}{y}})^{\frac 32} \right|_{\color{orange}{1}}^{{\color{orange}{2}}}\)
\(= \frac 23\left((3+x)^{\frac 32} - (2+x)^{\frac 32}\right)\)
Nun wird für diesen Ausdruck das Integral über \(x\) berechnet:
\(\frac 23\int_1^2 \left((3+x)^{\frac 32} - (2+x)^{\frac 32}\right)\, dx =\frac 23\left[\frac 25 (3+x)^{\frac 52} -\frac 25 (2+x)^{\frac 52} \right]_1^2\)
\(= \frac 4{15}\left[\left( 5^{\frac 52} -4^{\frac 52} \right) - \left(4^{\frac 52} -3^{\frac 52}\right)\right]\)
\(=\frac 4{15} \left( \sqrt{5^5} -2\cdot \sqrt{4^5}+ \sqrt{3^5}\right)= \frac 4{15}\left(25\sqrt 5 - 64 + 9\sqrt 3\right)\)
