Berechnen Sie das folgende Doppelintegral (Doppelintegral in kartesischer Form).

Question

Guten Morgen,
bei der folgenden Aufgabe habe ich Schwierigkeiten. Ich habe eine Freundin gefragt, ob sie mir behilflich sein kann, jedoch hat sie auch keine Lösung. Kann mir bitte jemand helfen und eine Lösungsmöglichkeit mit Zwischenschritten mitteilen? Ich habe die Aufgabe in einem Online-Rechner eingegeben aber die Zwischenschritte kann ich nicht gut nachvollziehen.

Aufgabenstellung:

(Doppelintegrale in kartesischer Form mit festen Grenzen) Berechnen Sie das Doppelintegral:
$\int \limits_{x=1}^{2} \int \limits_{y=1}^{2} \sqrt{1+x+y} d y d x$

Das ist die Rechnung, die ich Online erhalten habe:

$\int \limits_{1}^{2} \int \limits_{1}^{2} \sqrt{1+x+y} d y d x$
$\int \limits_{1}^{2} \sqrt{1+x+y} d y=\frac{2(x+3)^{\frac{3}{2}}-2(x+2)^{\frac{3}{2}}}{3}$
$=\int \limits_{1}^{2}\left(\frac{2(x+3)^{\frac{3}{2}}-2(x+2)^{\frac{3}{2}}}{3}\right) d x$
$\int \limits_{1}^{2}\left(\frac{2(x+3)^{\frac{3}{2}}-2(x+2)^{\frac{3}{2}}}{3}\right) d x=\frac{100 \sqrt{5}+36 \sqrt{3}-256}{15}$
$=\frac{100 \sqrt{5}+36 \sqrt{3}-256}{15}$

Vielen Dank im Voraus!
Ganz liebe Grüße
Vera

Comments

Was wäre denn eine Stammfunktion für

$$z \mapsto \sqrt{a+z}$$

Answer 1

Es werde die folgenden Stammfunktionen bei konstantem $c$ benutzt:

$\int \sqrt{c+t} dt = \int (c+t)^{\frac 12}\, dt = \frac 23 (c+t)^{\frac 32}$

$\int (t+c)^{\frac 32} dt = \frac 25 (c+t)^{\frac 52} = (c+t)^2\sqrt{c+t}$

Beides sind Spezialfälle der Regel $\int x^a dx = \frac 1{1+a}x^{1+a}$ für $a\neq -1$.

Nun zur Rechnung selbst:

Zuerst wird das innere Integral über ${\color{orange}{y}}$ berechnet. Dabei wird $1+x$ wie eine Konstante behandelt:

$\int_1^2 \sqrt{1+x+{\color{orange}{y}}}\,{\color{orange}{dy}} = \int_1^2(1+x+{\color{orange}{y}})^{\frac 12}{\color{orange}{dy}} = \left.\frac 23 (1+x+{\color{orange}{y}})^{\frac 32} \right|_{\color{orange}{1}}^{{\color{orange}{2}}}$

$= \frac 23\left((3+x)^{\frac 32} - (2+x)^{\frac 32}\right)$

Nun wird für diesen Ausdruck das Integral über $x$ berechnet:

$\frac 23\int_1^2 \left((3+x)^{\frac 32} - (2+x)^{\frac 32}\right)\, dx =\frac 23\left[\frac 25 (3+x)^{\frac 52} -\frac 25 (2+x)^{\frac 52} \right]_1^2$

$= \frac 4{15}\left[\left( 5^{\frac 52} -4^{\frac 52} \right) - \left(4^{\frac 52} -3^{\frac 52}\right)\right]$

$=\frac 4{15} \left( \sqrt{5^5} -2\cdot \sqrt{4^5}+ \sqrt{3^5}\right)= \frac 4{15}\left(25\sqrt 5 - 64 + 9\sqrt 3\right)$

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Vielen lieben Dank für die Erklärung, das hat mir sehr geholfen :)