Gewöhnliche & Absolute Konvergenz einer konvergenten Reihe und einer konvergenten Folge beweisen oder widerlegen.

Question

Aufgabe:

Gewöhnliche vs. absolute Konvergenz:

Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen:
a)

Sei \( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{ak} \) eine absolut konvergente Reihe und (b_n) eine kovergente Folge.

Dann konvergiert auch die Reihe \( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{bkak} \) absolut. (2 Pkt.)

b)

Sei \( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{ak} \) eine (gewöhnliche) konvergente Reihe und (bn) eine konvergente Folge.

Dann konvergiert auch die Reihe \( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{bkak} \). (3 Pkt.)

Problem/Ansatz:

Hallo ! :)

Wir haben uns heute im Studium zum ersten Mal mit Reihen befasst. Mir sind bis jetzt die Sätze für Konvergenz für Folgen bekannt.

Ich weiß leider nicht, wie wir hier vorzugehen haben. Ich weiß bereits, dass man absolute Konvergenz, mithilfe der Dreiecksungleichung beweisen kann, um das Cauchy-Konvergenzkriterium zu beweisen. Allerdings sehe ich nicht, wie ich die Summe umforme, so dass  diese mir bei Teilaufgabe b) weiterhelfen kann. Da b) mehr Punkte als a) gibt, gehe ich davon aus, dass es auch wesentlich komplizierter gestaltet ist.

Anfänge & Lösungsansätze sind mehr als willkommen.
Vielen Dank im Voraus !

Comments

Tipp zu a)  Konvergente Folgen sind beschränkt.
Tipp zu b)  Wähle \(a_k=b_k=\dfrac{(-1)^k}{\sqrt k}\).

Answer 1

Hallo

zu a) du kannst Reihen als Folgen von Summen von k bis n behandeln.

dann existiert ein N so dass ist Summe von n>N bis ∞ < ε ist, dazu benutze die Konvergenz von bk und bastle einen Beweis.

b) ist falsch, man nimmt eine summe mit alternierenden ak die eine Nullfolge bilden, etwa ak=1/√k*(-1)^k und dann bk=-ak und hat die divergente harmonische Reihe also ein Gegenbeispiel.

Comments

Hallo, vielen Dank für deine Antwort.

Tatsächlich habe ich beides so ähnlich bewiesen. Vielen Dank ! :D

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In meiner Aufgabenstellung zu b) ist ja die Rede von ak und bn.

Darf ich diesbezüglich sagen, dass n=k ist, also dass k und n den selben Index haben und damit n als k bezeichnen?