Kreuzprodukt mit vektorwertigen Funktion bilden

Question

ich habe eine Frage bezüglich des Kreuzprodukts von einem Vektor mit einer vektorwertigen Funktion. Wie sieht dieses Produkt aus?

Ich weiß von der Rotationsnotation rot(f), dass hier ein Kreuzprodukt zwischen den Ableitungsoperatoren mit der vektorwertigen Funktion gebildet wird. Hier werden dann die Ableitungsoperatoren auf die Komponenten von f angewandt.

Doch wie ist das nun bei einem gewöhnlich Vektor also z.B:

Nehmen wir die vektorwertige Funktion f(x,y,z) = (x, y, z) und einen beliebigen Vektor v aus \( R^{3} \) mit v=(a,b,c)

Wir bilden nun das Kreuzprodukt v x f

Wird hier nun etwa jeweils die Komponente aus v auf die jeweiligen Funktion nach Kreuzproduktregeln angewandt, sprich ist das Produkt hier \( \begin{pmatrix} b-c\\c-a\\a-b \end{pmatrix} \) oder ist das hier ein ganz gewöhnliches Produkt und es wird nichts auf die Funktionen angewandt also \( \begin{pmatrix} zb-yc\\xc-za\\ya-xb \end{pmatrix} \) oder ist beides falsch?

Möchte man anschließend noch die Ableitung von v x f bilden, wie bildet man diese?

Comments

f(x,y,z) = (x, y, z) ist doch die Idendität.

Answer 1

Hallo

nur dein 2ter Vorschlag macht Sinn.

Ableitungen genau wie bei jeder vektorwertigen Funktion

Gruß lul

Comments

Vielen Dank soweit.
Heißt das bei der Ableitung (v x f)' dann, dass \( \begin{pmatrix} zb-yc\\xc-za\\ya-xb \end{pmatrix} \) in jeder Komponente nach allen Variablen (a, b, c, x, y, z) abgeleitet wird und wir am Ende eine 3x6 Matrix rausbekommen?

(−−−)

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Ok ich denke es wird eher eine 3x3 Matrix, da nur nach x, y und z abgeleitet wird, da a, b und c ja schon Zahlen sind. Richtig?

Answer 2

Aloha :)

Das Kreuzprodukt von zwei vektorwertigen Funktionen:$$\vec a(\vec r)\quad\text{und}\quad\vec b(\vec r)$$wird genauso gebildet wie bei konstanten Vektoren:$$\vec a(\vec r)\times\vec b(\vec r)=\begin{pmatrix}a_2(\vec r)\cdot b_3(\vec r)-a_3(\vec r)\cdot b_2(\vec r)\\a_3(\vec r)\cdot b_1(\vec r)-a_1(\vec r)\cdot b_3(\vec r)\\a_1(\vec r)\cdot b_2(\vec r)-a_2(\vec r)\cdot b_1(\vec r)\end{pmatrix}$$

Beim Ableiten gelten die Rechenregeln für den Nabla-Operator. Wende die Produktregel an und stelle dann die Vektoren nach den Rechenrelgen der Vektorrechnung so um, dass der Nabla-Operator direkt vor der Komponente steht, auf die er wirkt.

Für die Divergenz heißt das:$$\vec\nabla\cdot(\vec a\times\vec b)=\vec\nabla\cdot(\pink{\vec a}\times\vec b)+\vec\nabla\cdot(\vec a\times\pink{\vec b})$$$$\phantom{\vec\nabla\cdot(\vec a\times\vec b)}=\vec b\cdot(\vec\nabla\times\pink{\vec a})+\vec a\cdot(\pink{\vec b}\times\vec\nabla)$$$$\phantom{\vec\nabla\cdot(\vec a\times\vec b)}=\vec b\cdot(\vec\nabla\times\pink{\vec a})-\vec a\cdot(\vec\nabla\times\pink{\vec b})$$Dabei wurde die Verschiebungsregel für das Spatprodukt verwendet, also$$\vec a\cdot(\vec b\times \vec c)=\vec b\cdot(\vec c\times \vec a)=\vec c\cdot(\vec a\times \vec b)$$

Für die Rotation gilt:$$\vec\nabla\times(\vec a\times\vec b)=\vec\nabla\times(\pink{\vec a}\times\vec b)+\vec\nabla\times(\vec a\times\pink{\vec b})$$$$\phantom{\vec\nabla\times(\vec a\times\vec b)}=\pink{\vec a}\cdot(\vec\nabla\cdot\vec b)-\vec b\cdot(\vec\nabla\cdot\pink{\vec a})+\vec a\cdot(\vec\nabla\cdot\pink{b})-\pink{\vec b}\cdot(\vec\nabla\cdot\vec a)$$$$\phantom{\vec\nabla\times(\vec a\times\vec b)}=(\vec b\cdot\vec\nabla)\cdot\pink{\vec a}-\vec b\cdot(\vec\nabla\cdot\pink{\vec a})+\vec a\cdot(\vec\nabla\cdot\pink{b})-(\vec a\cdot\vec\nabla)\cdot\pink{\vec b}$$Dabei wurde die "BAC-CAB-Regel" verwendet:$$\vec a\times(\vec b\times \vec c)=\vec b\cdot(\vec a\cdot\vec c)-\vec c\cdot(\vec a\cdot\vec b)$$

Comments

Also für v x f komme ich auf \( \begin{pmatrix} zb-yc\\xc-za\\ya-xb \end{pmatrix} \) was sich mit deiner Erklärung deck, also \(\vec a(\vec r)\times\vec b(\vec r)=\begin{pmatrix}a_2(\vec r)\cdot b_3(\vec r)-a_3(\vec r)\cdot b_2(\vec r)\\a_3(\vec r)\cdot b_1(\vec r)-a_1(\vec r)\cdot b_3(\vec r)\\a_1(\vec r)\cdot b_2(\vec r)-a_2(\vec r)\cdot b_1(\vec r)\end{pmatrix}\)

Ich verstehe allerdings nicht, warum die Ableitung von \( \begin{pmatrix} zb-yc\\xc-za\\ya-xb \end{pmatrix} \) nicht die Jacobi-Matrix ist. Könntest du mir das bitte erläutern?

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Bei mir ist der Vektor v keine Vektorwertige Funktion, sondern ein Vektor aus \( R^{3} \) wobei die Komponenten a, b und c dann natürlich nur Zahlen sind.

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Mir liegt die Lösung nun für dieses Problem vor:

Die Ableitung von v x f ist die Jacobi-Matrix von v x f.

Eventuell meinten Sie das auch und ich habe es nicht verstanden.

Trotzdem vielen Dank.