Aloha :)
Für n≥2 gilt:a)1≤n−1<2n−1⟹(n−1)(2n−1)>1⟹2n2−3n+1>1b) 2n2−3n+1=2n2−(3n−1)<2n2≤n3
Damit gilt für alle n≥2:1=n1<n2n2−3n+1=an≤nn3=nn⋅nn⋅nn→(n→∞)1⋅1⋅1
Also ist:n→∞lim(an)=1
Bemerkung:
Das nn→1 konvergiert, sollte in der Vorlesung besprochen worden sein.
Falls es nicht dran war, kannst du für n∈N folgende Abschätzung treffen:1≤nn=1+cnmitcn≥0Darin ist cn eine von n abhängige Konstante. Es ist klar, dass c1=0 gilt.
Für n≥2 schätzen wir cn mittels des binomischen Lehrsatzes ab:n=(1+cn)n=k=0∑n(kn)1n−k⋅(cn)k≥(2n)cn2=2n(n−1)cn2⟹cn2≤n−12→(n→∞)0Also geht cn für n→∞ gegen Null und es gilt: nn→1.