0 Daumen
234 Aufrufe

Aufgabe:

Grenzwerte


Problem/Ansatz:IMG_2902.jpeg

Text erkannt:

an=2n23n+1n a_{n}=\sqrt[n]{2 n^{2}-3 n+1}

Avatar von

3 Antworten

0 Daumen

Hallo

suche 2 Werte mit an>A und an<B  ab irgendeinem n  wobei du den GW von A und B kennst.

Gruß lul

Avatar von 108 k 🚀
0 Daumen

Aloha :)

Für n2n\ge2 gilt:a)1n1<2n1    (n1)(2n1)>1    2n23n+1>1\text{a)}\quad1\le n-1<2n-1\implies(n-1)(2n-1)>1\implies2n^2-3n+1>1b) 2n23n+1=2n2(3n1)<2n2n3\text{b) }\quad2n^2-3n+1=2n^2-(3n-1)<2n^2\le n^3

Damit gilt für alle n2n\ge2:1=1n<2n23n+1n=ann3n=nnnnnn(n)1111=\sqrt[n]{1}<\sqrt[n]{2n^2-3n+1}=a_n\le\sqrt[n]{n^3}=\sqrt[n]{n}\cdot\sqrt[n]{n}\cdot\sqrt[n]{n}\stackrel{(n\to\infty)}{\to}1\cdot1\cdot1

Also ist:limn(an)=1\quad\lim\limits_{n\to\infty}(a_n)=1

Bemerkung:

Das nn1\sqrt[n]{n}\to1 konvergiert, sollte in der Vorlesung besprochen worden sein.

Falls es nicht dran war, kannst du für nNn\in\mathbb N folgende Abschätzung treffen:1nn=1+cnmitcn01\le\sqrt[n]{n}=1+c_n\quad\text{mit}\quad c_n\ge0Darin ist cnc_n eine von nn abhängige Konstante. Es ist klar, dass c1=0c_1=0 gilt.

Für n2n\ge2 schätzen wir cnc_n mittels des binomischen Lehrsatzes ab:n=(1+cn)n=k=0n(nk)1nk(cn)k(n2)cn2=n(n1)2cn2    cn22n1(n)0\small n=(1+c_n)^n=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}1^{n-k}\cdot (c_n)^k\ge\binom{n}{2}c_n^2=\frac{n(n-1)}{2}c_n^2\implies c_n^2\le\frac{2}{n-1}\stackrel{(n\to\infty)}{\to}0Also geht cnc_n für nn\to\infty gegen Null und es gilt: nn1\sqrt[n]{n}\to1.

Avatar von 152 k 🚀
0 Daumen

Für n -> oo genügt es, nur die höchste Potenz zu betrachten, die "gewinnt"

(2n2)^(1/n) (2*n*n)^(1/n) = 2n^(1/n)* n^(1/n) = 1*1*1 = 1 für n ->oo

Es gilt: n^(1/n) = 1

Avatar von 39 k

Wieder falsche =-Zeichen.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Ähnliche Fragen

0 Daumen
3 Antworten