Grenzwerte berechnen lösen

Question

Aufgabe:

Grenzwerte

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

\( a_{n}=\sqrt[n]{2 n^{2}-3 n+1} \)

Answer 1

Hallo

suche 2 Werte mit an>A und an<B  ab irgendeinem n  wobei du den GW von A und B kennst.

Gruß lul

Answer 2

Aloha :)

Für \(n\ge2\) gilt:$$\text{a)}\quad1\le n-1<2n-1\implies(n-1)(2n-1)>1\implies2n^2-3n+1>1$$$$\text{b) }\quad2n^2-3n+1=2n^2-(3n-1)<2n^2\le n^3$$

Damit gilt für alle \(n\ge2\):$$1=\sqrt[n]{1}<\sqrt[n]{2n^2-3n+1}=a_n\le\sqrt[n]{n^3}=\sqrt[n]{n}\cdot\sqrt[n]{n}\cdot\sqrt[n]{n}\stackrel{(n\to\infty)}{\to}1\cdot1\cdot1$$

Also ist:\(\quad\lim\limits_{n\to\infty}(a_n)=1\)

Bemerkung:

Das \(\sqrt[n]{n}\to1\) konvergiert, sollte in der Vorlesung besprochen worden sein.

Falls es nicht dran war, kannst du für \(n\in\mathbb N\) folgende Abschätzung treffen:$$1\le\sqrt[n]{n}=1+c_n\quad\text{mit}\quad c_n\ge0$$Darin ist \(c_n\) eine von \(n\) abhängige Konstante. Es ist klar, dass \(c_1=0\) gilt.

Für \(n\ge2\) schätzen wir \(c_n\) mittels des binomischen Lehrsatzes ab:$$\small n=(1+c_n)^n=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}1^{n-k}\cdot (c_n)^k\ge\binom{n}{2}c_n^2=\frac{n(n-1)}{2}c_n^2\implies c_n^2\le\frac{2}{n-1}\stackrel{(n\to\infty)}{\to}0$$Also geht \(c_n\) für \(n\to\infty\) gegen Null und es gilt: \(\sqrt[n]{n}\to1\).

Answer 3

Für n -> oo genügt es, nur die höchste Potenz zu betrachten, die "gewinnt"

(2n^2)^(1/n) (2*n*n)^(1/n) = 2^n^(1/n)* n^(1/n) = 1*1*1 = 1 für n ->oo

Es gilt: n^(1/n) = 1

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Wieder falsche =-Zeichen.