Formel umformen für die Wahrsccheinlichkeit von k Jungen.

Question

Aufgabe: Hallo Zusammen, ich habe folgene Aufgabe und leider keinerlei Ansatz. Ich habe zwar bereits dieselbe Frage im Netz gefunden, kann allerdings die Schritte nicht nachvollziehen. Die Aufgabe lautet: Die Wahrscheinlichkeit \( p_{n} \), das eine Familie genau n Kinder hat, sei für n≥ 1 gegeben durch \( p_{n} = ap^{n} \) und \( p_{0} = 1-ap(1+p+p^{2}+...) \) , wobei p ∈(0,1) und 0<a<(1-p)/p. Ferner sei für Familien mit der Kinderzahl n die Verteilung der Geschlechter der Kinder die Gleichverteilung.

a) Zeigen Sie für k≥1, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Familie genau k Jungen hat, gegeben ist durch $$\frac{2ap^k}{(2-p)^{k+1}}$$

b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Familie mindestens zwei Jungen hat unter der Bedingung, dass sie wenigstens einen Jungen hat?

Problem/Ansatz:

Leider habe ich keinerlei Ansätze. Ich weiß bloß, dass ich einmal den Binomialkoeffizienten benötige und das ich x=p/2 setzen kann und somit eine geometrische Reihe hätte, die ich dann abschätzen könnte. Wie das allerdings umgesetzt wird bzw. was meine "Grundformel" ist, die ich umformen muss (also bei der a), weiß ich leider nicht.

Vielen Dank im Voraus!

Comments

Mach ein Zahlenbeispiel, z.B. n= 5

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1+p+p^2+... = p^0+p+p^2

Das ist eine geometrische Summe mit dem Wert 1/(1-p) 

Answer 1

Der Ansatz ist \(\sum\limits_{n=k}^{\infty}ap^n\cdot \binom{n}{k}\left(\frac{1}{2}\right)^n\). Durch geschicktes Umformen kann man dann die k-te Ableitung der geometrischen Reihe erhalten. Damit lässt sich zeigen, dass \(\sum\limits_{n=k}^\infty \binom{n}{k}x^n=\frac {x^k}{(1-x)^{k+1}}\) gilt, falls \(0<x<1\). Für \(x=\frac{p}{2}\) folgt dann die Behauptung.

Comments

Vielen Dank für die Antwort! Dumme Frage, aber woher bekomme ich die 2 im Zähler? Soweit konnte ich alles umformen bzw. anwenden aber mir fehlt die geforderte 2 im Zähler und ich weiß nicht "woher" die kommen soll? Also ich habe für die k-te Ableitung für $$\sum \limits_{n=k}^{\infty}n(n-1)...(n-k+1)x^{n-1} =\frac{k!}{(1-x)^{k+1}}$$ falls das überhaupt richtig ist.

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Ersetze \(x=\frac{p}{2}\), dann erhältst du im Zähler \(\left(\frac{p}{2}\right)^k\). Dann kannst du den Bruch aber so umschreiben, dass du \(2^{k+1}\) im Nenner hast und in die Klammern ziehen kannst. Das liefert dir dann aber den zusätzlichen Faktor 2 im Zähler (erweitere quasi den Bruch mit 2).

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Vielen lieben Dank!!!