Aufgabe:
Für eine normalverteilte Zufallsvariable \( L \sim \mathcal{N}\left(\mu, \sigma^{2}\right) \) mit Erwartungswert \( \mu \in \mathbb{R} \) und Varianz \( \sigma> \) 0 , die den Verlust aus einer Risikoposition beschreibt, interessieren wir uns für den sog. Expected Shortfall, also den mittleren Verlust der aus der Position, wenn der zugehörige Value-at-Risk \( \operatorname{VaR}_{\alpha}(L) \) zum Konfidenzniveau \( \alpha:=1-\frac{2 \beta}{1000} \) nicht überschritten wird. Dieser ist definiert als
\(\operatorname{ES}_{\alpha}(L):=\mathbb{E}\left(L \mid L \geq \operatorname{VaR}_{\alpha}(L)\right)=\frac{1}{1-\alpha} \int \limits_{\operatorname{VaR}_{\alpha}(L)}^{\infty} x \cdot \varphi_{\mu, \sigma^{2}}(x) d x\)
mit der Normalverteilungsdichte
\(\varphi_{\mu, \sigma^{2}}: \mathbb{R} \ni x \mapsto \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \exp \left(\frac{(x-\mu)^{2}}{\sigma^{2}}\right) \in \mathbb{R}^{+}:\)
Berechnen Sie bitte \( \mathrm{ES}_{\alpha}(L) \) !
Problem/Ansatz:
Guten Abend,
dank der Hinweise unter meinen anderen Fragen, jetzt eins nach dem Anderen. Ich sitze an meinen Uni Hausaufgaben, bin auf diese Aufgabe gestoßen und habe keinerlei Ahnung, was ich hier tun muss, bzw. wie... Das ist teilweise frustrierend. Es würde mich freuen, wenn sich wieder jemand die Zeit nimmt und mir weiterhilft.
Vielen Dank an alle aktiven Fragenbeantworter!
