Wie muss der Parameter gewählt werden, damit die Funktion für alle reellen Zahlen stetig ist?

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Verstehe es leider gar nicht. Wie löst man das?

Text erkannt:

97. Gegeben sei die folgende stückweise definierte Funktion:
\( f(x)=\left\{\begin{array}{cc} x+a & \text { falls } x<1 \\ x^{2} & \text { falls } x \geq 1 \end{array}\right. \)

Wie muss der Parameter \( a \) gewählt werden, damit die Funktion für alle reellen Zahlen \( x \) stetig ist?
(A) \( a=0 \)
(B) \( a=1 \)
(C) \( a=-1 \)
(D) beliebig

Text erkannt:

97. Gegeben sei die folgende stückweise definierte Funktion:
\( f(x)=\left\{\begin{array}{cc} x+a & \text { falls } x<1 \\ x^{2} & \text { falls } x \geq 1 \end{array}\right. \)

Wie muss der Parameter \( a \) gewählt werden, damit die Funktion für alle reellen Zahlen \( x \) stetig ist?
(A) \( a=0 \)
(B) \( a=1 \)
(C) \( a=-1 \)
(D) beliebig

Answer 1

\(f\) ist offensichtlich (Rechenregeln für Stetigkeit) für \(x<1\) und \(x>1\) stetig. Bleibt \(x=1\) zu prüfen. Hier müssen links- und rechtsseitiger Grenzwert gleich sein, also \(\lim\limits_{x\to1+}f(x)=\lim\limits_{x\to1-}f(x)\). Berechne die Grenzwerte, dann gibt diese Gleichung eine leicht lösbare Gleichung für \(a\).

Answer 2

f(1) = 1^2 = 1

x+a muss für x=1 gegen 1 gehen:

1+a= 1

a= 0