Lösungsmenge des LGS

Question

Aufgabe:

Sei \( \alpha \in \mathbb{R} \). Bestimmen Sie die Lösungsmenge \( L_{\alpha} \) des Lineargleichungssystems:
\( \begin{array}{c} 2 x+4 y+2 z=4 \\ x+y+z=2 \\ 2 x-2 y+\alpha z=4 \end{array} \)

Geben Sie eine geometrische Interpretation der Menge \( L_{\alpha} \) in Abhängigkeit der Parameter \( \alpha \).

Ansatz/Problem:

Ich bin gerade an einer LGS Aufgabe dran wobei ich das Gleichungssystem in Zeilenstufenform gebracht habe. Nun weiß ich jedoch nicht wie ich weiter vorgehen muss bezüglich der geometrischen Interpretation. Vielen Dank im Voraus.

1	2	1
0	-1	0
0	0	α-1

Dazu habe ich die Ergebnisse 2,0,0

Comments

Dazu habe ich die Ergebnisse 2,0,0

Die Lösungsmenge beschriebe dann einen Punkt.

Gilt aber nur, wenn α ≠ 2, ansonsten wäre es eine Gerade.

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Mit Dazu habe ich die Ergebnisse 2,0,0 ist vermutlich die rechte Seite des neuen LGS gemeint.

Answer 1

x + y + z = 2
2x + 4y + 2z = 4
2x - 2y + az = 4

II - 2*I ; III - 2*I

x + y + z = 2
2y = 0 → 0
- 4y + (a - 2)z = 0

y = 0 in III einsetzen

(a - 2)z = 0 --> z = 0 oder a = 2

Für a ≠ 2

y und z in I einsetzen

x + 0 + 0 = 2 --> x = 2

Für a = 2

y und a = 2 in II einsetzen

(a - 2)z = 0 --> 0z = 0 → z beliebig

und in III einsetzen

x + 0 + z = 2 → x = 2 - z

Geometrische Interpretation

Für a ≠ 2 hat man 3 Ebenen, die sich in einem Punkt schneiden.

Für a = 2 hat man 3 Ebenen, die sich in einer Geraden schneiden.

Skizziere dir das mal in Geogebra.

Answer 2

Aloha :)

Ich würde hier das Gauß-Verfahren anwenden:$$\begin{array}{rrr|r|l}x & y & z & = & \text{Aktion}\\\hline2 & 4 & 2 & 4 &-2\cdot Z_2\\1 & 1 & 1 & 2 &\\2 & -2 & \alpha & 4 &-2\cdot Z_2\\\hline0 & 2 & 0 & 0 & \div2\\1 & 1 & 1 & 2 & -\frac12\cdot Z_1 \\0 & -4 & \alpha-2 & 0 & +2\cdot Z_1\\\hline 0 & 1 & 0 & 0 &\Rightarrow y=0\\1 & 0 & 1 & 2 & \Rightarrow x+z=2\\0 & 0 & \alpha-2 & 0 &\Rightarrow (\alpha-2)\cdot z=0\end{array}$$

Die Fallunterscheidung für \(\alpha \) findet in der letzen Zeile statt.

1. Fall: \(\alpha=2\)

Die letzte Gleichung ist unabhängig von der Wahl des \(z\) immer erfüllt. Übrig bleiben die beiden Forderungen aus den ersten beiden Gleichungen:$$y=0\quad;\quad x=2-z$$Damit können wir alle Lösungen hinschreiben:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2-z\\0\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}+z\cdot\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}$$Die Lösungen liegen also alle auf einer Geraden.

2. Fall \(\alpha\ne2\)

Die letzte Gleichung ist nur für \(z=0\) erfüllt. Die beiden anderen Gleichungen liefern dann \(y=0\) und \(x=2\). Die Lösung ist also eindeutig: \((x;y;z)=(2;0;0)\). Geometrisch gesehen ist die Lösung also ein Punkt.