Inverse einer Blockdiagonalmatrix berechnen

Question

Bei mir wurde das Inverse einer 2x2 Matrix wie folgt definiert:

B = \( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) dann gilt \( B^{-1} \) = \( \frac{1}{B} \)\( \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \)

Warum aber ist

A = \( \begin{pmatrix} 2 & 3 & 0 & 0 \\ 5 & 7 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & -4 \\ 0 & 0 & -5 & 7 \end{pmatrix} \)

dann

\( A^{-1} \) = \( \begin{pmatrix} 7 & 3 & 0 & 0 \\ 5 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 7 & 4 \\ 0 & 0 & 5 & 3 \end{pmatrix} \) ?

Müsste der Eintrag (1,2) und (2,1) nicht negativ sein, also -3 und -5 ?

Hab ich mich verschrieben oder muss da wirklich 3 und 5 und nicht -3 und -5 stehen ?

Answer 1

Was soll denn in der 2x2-Formel bitte \(\frac1B\) sein? Der Vorfaktor muss \(\frac1{\det B}\) sein.

Und das \(A^{-1}\) ist in der Tat falsch, es muss \(a_11=-7\) und \(a_{22}=-2\) sein. \(a_{12}\) und \(a_{21}\) stimmen so.

Comments

Mit \( \frac{1}{|B|} \) ist auch die Diskriminante gemeint. Aber wie kommst Du auf -7 und -2, kannst Du mir das bitte erklären ?

---

In Deiner Formel oben steht nicht \(|B|\), sondern \(B\), das passt eben nicht. Und damit ist die Determinante gemeint (nicht Diskriminante). Was ist denn die Determinante des 2x2-Blocks links oben?

---

Links oben -1 und rechts unten 1. Und jetzt ?

---

Richtig. Was ist demnach die Inverse des Blocks links oben?

---

\( \begin{pmatrix} -7 & 3 \\ 5 & -2 \end{pmatrix} \). Allerdings ist der untere Block doch auch dann falsch, es müsste doch dann (...)

Edit: Ach, ne, falsch, unten wird ja mit 1 und nicht -1 multipliziert. Der untere Block stimmt also ...

---

Genauso ist es.