Aloha :)
Ich kenne die von dir verwendete Schreibweise für das Taylor-Polynom so:$$T_n(f;x_0)=\sum\limits_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\cdot(x-x_0)^k$$Darin ist \(f^{(k)}(x_0)\) die \(k\)-te Ableitung der Funktion \(f\) an der Stelle \(x_0\).
Mit dieser "Taylor-Formel" kannst du nun an die einzelnen Aufgabenteile herangehen.
zu a) Wir suchen das Taylor-Polynom$$\small T_2(f;0)=\frac{f(0)}{0!}+\frac{f'(0)}{1!}\cdot(x-0)^1+\frac{f''(0)}{2!}\cdot(x-0)^2=f(0)+f'(0)\cdot x+\frac12\,f''(0)\cdot x^2$$Da wir die Funktion \(f\) zwei Mal ableiten müssen, vereinfachen wir sie vorab:$$f(x)=\ln\left(\frac{e}{\sqrt{x^2+1}}\right)=\ln(e)-\ln\left((x^2+1)^{\frac12}\right)=1-\frac12\ln(x^2+1)$$Für die erste Ableitung nutzen wir die Kettenregel:$$f'(x)=-\frac12\cdot\underbrace{\frac{1}{x^2+1}}_{\text{äußere Abl.}}\cdot\underbrace{2x}_{\text{innere Abl.}}=-\frac{x}{x^2+1}$$Für die zweite Ableitung bietet sich die Quotientenregel an:$$f''(x)=-\frac{1\cdot(x^2+1)-x\cdot2x}{(x^2+1)^2}=-\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}=\frac{x^2-1}{(x^2+1)^2}$$
Wir brauchen die Werte speziell an der Stelle \(x_0=0\):$$f(0)=1\quad;\quad f'(0)=0\quad;\quad f''(0)=-1$$um sie in die Taylor-Formel einsetzen zu können:$$T_2(f;0)=1+0\cdot x+\frac 12\cdot(-1)\cdot x^2=1-\frac{x^2}{2}$$
zu b) Wir kennen die Funktion \(f(x)\) bereits bis zur 2-ten Ordnung ihrer Taylor-Reihe:$$f(x)=1-\frac{x^2}{2}+\sum\limits_{k=\pink3}^\infty\frac{f^{(k)}(0)}{k!}\cdot x^k$$Die letzte Summe beschreibt ein Polynom, in dem alle Summanden den Faktor \(x^3\) enthalten, denn sie beginnt bei \(k=\pink3\). Wir können daher \(x^3\) als Faktor ausklammern:$$f(x)=1-\frac{x^2}{2}+\pink{x^3}\cdot\sum\limits_{k=3}^\infty\frac{f^{(k)}(0)}{k!}\cdot x^{k\pink{-3}}$$
Wenn wir davon die \(1\) subtrahieren und den Rest durch \(x^2\) dividieren, erhalten wir den Ausdruck, dessen Grenwert für \(x\to0\) gesucht wird:$$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)-1}{x^2}=\lim\limits_{x\to0}\left(-\frac12+x\cdot\sum\limits_{k=3}^\infty\frac{f^{(k)}(0)}{k!}\cdot x^{k\pink{-3}}\right)=-\frac12$$
zu c) Eine Annäherung für das Integral finden wir mit dem Ergebnis von Teil (a):$$I=\int\limits_{-0,5}^{0,5}f(x)\,dx\approx\int\limits_{-0,5}^{0,5}\left(1-\frac{x^2}{2}\right)dx=\left[x-\frac{x^3}{6}\right]_{-0,5}^{0,5}=2\left(\frac12-\frac{1}{48}\right)=\frac{23}{24}$$
zu d) Hier soll das Ausrechnen von Taylor-Formeln nochmal geübt werden:$$T_3(f;1)=f(1)+f'(1)\cdot(x-1)+\frac12f''(1)\cdot(x-1)^2+\frac16f'''(1)\cdot(x-1)^3$$Diesmal lautet die Funktion jedoch anders:$$f(x)=\frac{1+x^2}{x}=\frac1x+x=x^{-1}+x$$Die Ableitungen sind nicht schwierig, die kriegst du sicher hin. Zur Kontrolle:$$f(1)=2\quad;\quad f'(1)=0\quad;\quad f''(1)=2\quad;\quad f'''(1)=-6$$
Das führt uns zu der gesuchten Taylor-Formel:$$T_3(f;1)=2+(x-1)^2-(x-1)^3$$
