Ich mach mal \(q_{tt}\).
Ausgangspunkt ist
\(q_t = - f(q)_x = -\partial_x f(q) = -f'(q)q_x\quad (1)\)
Wenn wir (1) partiell nach \(t\) ableiten, brauchen wir später auf jeden Fall \(q_{xt}\). Also leiten wir (1) schonmal partiell nach \(x\) ab:
\(q_{xt} = -\partial_x \left(f'(q)q_x\right) = -\left(f''(q)q_x^2 + f'(q)q_{xx}\right) \quad (2)\)
Jetzt berechnen wir \(q_{tt}\):
\(q_{tt} = \partial_t\left(-f'(q)q_x\right) = -\left(f''(q)q_tq_x + f'(q)q_{tx} \right) = ...\)
Jetzt setzen wir (1) und (2) ein, wobei wir \(q_{tx}=q_{xt}\) annehmen:
\(... = -\left(f''(q)(-f'(q))q_x^2 - f'(q)\left(f''(q)q_x^2 + f'(q)q_{xx}\right) \right) =... \)
\(... = 2f''(q)f'(q)q_x^2 + \left(f'(q)\right)^2q_{xx} \quad (3)\)
Nun berechnen wir den anderen Audruck:
\(\partial_x\left(f'(q) f(q)_x\right) = \partial_x\left(\left(f'(q)\right)^2 q_x\right)= 2f''(q)f'(q)q_x^2 + \left(f'(q)\right)^2q_{xx} \quad (4)\)
Offenbar gilt (3) = (4). Damit ist die Formel für \(q_{tt}\) gezeigt.
Die Formel für \(q_{ttt}\) geht dann wohl analog, aber mit etwas mehr Rechnerei.
