Aloha :)
zu a) Ein positiver Bruch wird kleiner, wenn wir seinen Nenner vergrößern. Daher können wir eine untere Grenze festlegen, indem wir im Nenner \(k\) durch \(n\) ersetzen. Ein posiiver Bruch wird größer, wenn wir seinen Nenner verkleinern. Daher können wir eine obere Grenze festelgen, indem wir im Nenner \(k\) weglassen:
$$\red{\frac12\sum\limits_{k=1}^n\frac{k}{n^2+n}}\le\frac12\sum\limits_{k=1}^n\frac{k}{n^2+k}\le\blue{\frac12\sum\limits_{k=1}^n\frac{k}{n^2}}$$
zu b) In den farbigen Summen können wir nun jeweils den Nenner vor die Wurzel ziehen, da die Indexvaribale \(k\) darin nicht mehr auftaucht. Mit der berühmten Summenformel von Gauß (vgl. Hinweis)$$\sum\limits_{k=1}^nk=\frac{n^2+n}{2}$$können wir die Summen dann konkret ausrechnen:$$\red{\frac12\sum\limits_{k=1}^n\frac{k}{n^2+n}}=\frac12\cdot\frac{1}{n^2+n}\cdot\sum\limits_{k=1}^nk=\frac12\cdot\frac{1}{n^2+n}\cdot\frac{n^2+n}{2}=\red{\frac14}$$$$\blue{\frac12\sum\limits_{k=1}^n\frac{k}{n^2}}=\frac12\cdot\frac{1}{n^2}\cdot\sum\limits_{k=1}^nk=\frac12\cdot\frac{1}{n^2}\cdot\frac{n^2+n}{2}=\frac14\frac{n^2+n}{n^2}=\blue{\frac14\left(1+\frac1n\right)}$$
Das führt uns zu der Abschätzung:$$\red{\frac14}\le\frac12\sum\limits_{k=1}^n\frac{k}{n^2+k}\le\blue{\frac14\left(1+\frac1n\right)}$$
Im Grenzübergang \(n\to\infty\) verschwindet die Nullfolge \(\blue{\frac1n}\) in der oberen Grenze und sie konvergiert gegen \(\frac14\). Daher gilt:$$\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{k}{2(n^2+k)}=\frac14$$
