Nullzeile bei LGS mit Parameter

Question

(Aufgabenstellung: Untersuchen Sie das LGS in Abhängigkeit vom Parameter a auf Lösbarkeit (a ∈ ℝ). Geben Sie ggf. die Lösung an.)

x + ay = 2a

2x + 2y = 2a + 2

Wenn ich das LGS umforme, steht bei mir:

1	a	2a
0	2-2a	-2a+2

Aus der 2. Zeile geht hervor:

(2-2a)y = -2a + 2

Meine Frage ist, wenn a = 1, dann entsteht eine Nullzeile, wie geht man dann vor?

Für den Fall a ≠ 1 hab ich L = { (a; 1) }

Answer 1

(2-2a)y = -2a + 2

Das ist notwendig für die Lösbarkeit des LGS.

wenn a = 1,

Dann ist obige Gleichung nicht gültig, weil sie dann

        0 = 2

lauten würde. Also ist für den Fall a = 1 das LGS nicht lösbar.

Comments

aber ist das nicht eben 0 = 0 ?, weil

(2 - 2*1)y = -2 * 1 + 2

(2-2)y = -2 + 2

0 = 0

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Ja, du hast recht. Dann wäre die eine Gleichung schon mal erfüllt. Die Lösungsmenge ist dann die Lösungsmenge der anderen Gleichung.

Answer 2

Für \(a=1\) erhält man das System

\(x+y=2\)

\(2x+2y=4\)

Die zweite Gleichung ist nun das Doppelte der ersten Gleichung. Daher, gibt es für \(a=1\) unendlich viele Lösungen.

Andernfalls ist die Lösung \((a,1)\), was sich leicht durch Probe verifizieren lässt.

Answer 3

Für den Fall a ≠ 1 hab ich L = { (a; 1) }

Das ist richtig.

Für a = 1 ist die Nullzeile immer erfüllt und damit gilt

x + ay = 2a → x + y = 2 → y = 2 - x → (x; 2 - x)