Doppelintegral aufstellen über Integrationsgebiet

Question

Aufgabe:

Folgende Aufgabe.

Problem/Ansatz:

Mein Problem ist nun wie ich die obere Grenze vom 1. Integral finde, da auch der x-Achse keine Werte angegeben sind

Text erkannt:

Berechnen sie das angegebere integral vber das gereigte Integrationsgebiet:
\( k=4 m=10 \)

Answer 1

Warum hier Polarkoordinaten? Man will es doch so einfach wie möglich machen.

Berechne den Schnittpunkt der beiden Kurven, sei die x-Stelle dazu \(x_0\).

Dann ist gesucht \(\int\limits_0^{x_0} \int\limits_{(\frac{m}5x)^2}^{1+\frac{k}4x}\sqrt{x}\,y \, dy\, dx\).

Comments

Mein Fehler. Stimmt es ist mit dem normalen Doppelintegral deutlich einfacher. Nun komme ich aber hier nicht weiter:

Text erkannt:

1.) Schnittponut beider Funutionen.
\( \begin{array}{c} 1+x=(2 x)^{2} \\ 1+x-4 x^{2} \quad \mid-4 x^{2} \\ -4 x^{2}+x+1=0 \quad \mid \quad(-4) \\ \left.4 x^{2}-\frac{1}{4 x}-\frac{1}{4}=0 \quad \right\rvert\, p / q \\ x_{1}=0.640388 \\ x_{2}=-0,390388 \\ \Delta \text { Grene } \end{array} \)

Gremze
\( \begin{array}{l} 0,641+x \\ \int \limits_{0}^{1+x} \int \limits_{(2 x)^{2}}^{x} \sqrt{x} d x d \varphi \\ \text { inneres. } \int \limits_{4 x^{2}}^{1+x} \sqrt{x} y d x=y \int \limits_{4 x^{2}}^{1+x} \sqrt{x} d x=y\left[\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}\right]_{4 x^{2}}^{1+x} \\ =y \cdot \frac{2}{3}\left[x^{\frac{3}{2}}\right]_{4 x^{2}}^{1+x} \\ =y \cdot \frac{2}{3}\left((1+x)^{\frac{3}{2}}-\left(4 x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}\right) \\ =y \cdot \frac{2}{3}\left(1^{\frac{3}{2}}+x^{\frac{3}{2}}-4^{\frac{3}{2}}\left(x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}\right) \\ -y \cdot \frac{2}{3}\left(1+x^{\frac{3}{2}}-8 x^{3}\right) \\ \end{array} \)

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1. Rechne bei Mathe-Aufgaben nicht mit Dezimalzahlen, sondern mit dem exakten Wert, hier \(x_0=\frac18(1+\sqrt{17})\) (in Deinem Aufschrieb ist ein Fehler, aber das \(x_0\) stimmt).

2. Achte genau auf die beiden Integrale und warum die Grenzen so sind, wie sie sind. Wir haben hier kein \(r,\varphi\) mehr. Und das innere Integral ist das \(dy\), siehe meine Antwort oben und sieht man ja auch an den Grenzen.

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Ich habe jetzt alles soweit geändert. Vielen Danke erstmal bis hierhin.

Kann man mein Ergebnis noch irgendwie vereinfachen oder kann ich das nun so mit dem äußeren Integral integrieren?

Text erkannt:

1.) Schnittponut beider Funutionen:
\( \begin{array}{c} 1+x=(2 x)^{2} \\ 1+x-4 x^{2} \quad \mid-4 x^{2} \\ -4 x^{2}+x+1=0 \quad \mid \cdot(-4) \\ \left.x^{2}-\frac{1}{4 x}-\frac{1}{4}=0 \quad \right\rvert\, p / 9 \\ x_{1}=\frac{1+\sqrt{17}}{8} \\ x_{2}=-0,390388 \\ \text { Greme } \end{array} \)

Greme
\( \int \limits_{0}^{\frac{1+\sqrt{10}}{8}} \int \limits_{(2 x)^{2}}^{1+x} \sqrt{x} y d y d x \)
inneres. \( \begin{aligned} \int \limits_{4 x^{2}}^{1+x} \sqrt{x} y d y=\sqrt{x}\left[\frac{1}{2} y^{2}\right]_{u x^{2}}^{1+x} & =\sqrt{x} \cdot \frac{1}{2}\left((1+x)^{2}-\left(4 x^{2}\right)^{2}\right) \\ & =\sqrt{x} \cdot \frac{1}{2}\left(1+x^{2}-16 x^{4}\right.\end{aligned} \)

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Du könntest (1+x) richtig quadrieren. Aber eine Vereinfachung sehe ich nicht. Ist ne merkwürdige Aufgabe, von den Zahlen und Funktionen her, aber das ist dann eben so.

Mit dem korrigierten inneren Integral kannst Du dann ins äußere einsteigen.

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Das ist nun mein Ergebnis  Stimmt das so?

Text erkannt:

\( \begin{array}{l} 1+x=(2 x)^{2} \\ 1+x-4 x^{2} \quad 1-4 x^{2} \\ -4 x^{2}+x+1=0 \quad 1 \cdot(-4) \\ x^{2}-\frac{1}{4 x}-\frac{1}{4}=0 \quad 1 p / q \\ x_{1}=\frac{1+\sqrt{17}}{8} \\ x_{2}=-0,390388 \\ \end{array} \)

Greme
\( \int \limits_{0}^{\frac{1+\sqrt{1}}{8}} \int \limits_{(2 x)^{2}}^{1+x} \sqrt{x} y d y d x \)
inneres.
\( \begin{aligned} \int \limits_{4 x^{2}}^{1+x} \sqrt{x} y d y=\sqrt{x}\left[\frac{1}{2} y^{2}\right]_{4 x^{2}}^{1+x} & =\sqrt{x} \cdot \frac{1}{2}\left((1+x)^{2}-\left(4 x^{2}\right)^{2}\right) \\ & =\sqrt{x} \cdot \frac{1}{2}\left(x^{2}+2 x+1-16 x^{4}\right) \end{aligned} \)
\( \frac{1+\sqrt{17}}{8} \)
außeres: \( \int \limits_{0}^{8} \sqrt{x} \cdot \frac{1}{2} \cdot\left(x^{2}+2 x+1-16 x^{4}\right) d x \)
\( \begin{array}{l} =-8 \int x^{4,5} d x+\frac{1}{2} \int x^{2,5} d x+\int x^{1,5} d x+\frac{1}{2} \int \sqrt{x} d x \\ =-8\left[\frac{2}{11} x^{5,5}\right]+\frac{1}{2}\left[\frac{2}{7} x^{3,5}\right]+\left[\frac{2}{6} x^{215}\right]+\frac{1}{2}\left[\frac{2}{3} x^{\frac{1}{2}}\right] \\ =-\frac{16}{1}\left[x^{5,5}\right]+\frac{1}{7}\left[x^{3,5}\right]+\frac{2}{5}\left[x^{2,5}\right]+\frac{1}{3}\left[x^{\frac{3}{2}}\right] \\ =-\frac{16}{10}\left(\left(\frac{1+\sqrt{17}}{8}\right)^{3 / 5}-0^{3,5}\right)+\frac{1}{7}\left(\left(\frac{1+\sqrt{17}}{8}\right)^{3,5}-0^{3,5}\right)+\frac{2}{5}\left(\left(\frac{1+\sqrt{10}}{8}\right)^{2,5}-0^{2,5}\right)+\frac{1}{3}\left(\left(\frac{1+\sqrt{17}}{8}\right)^{\frac{1}{2}}-0^{\frac{3}{2}}\right) \\ \text { - } 0,035931901375+\frac{1}{3}\left(\left(\frac{1+a_{4}}{8}\right)^{\frac{3}{2}}-0^{\frac{3}{2}}\right) \\ \end{array} \)

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Ja, das Endergebnis stimmt (laut wolframalpha).

Bitte benutze nächstes Mal selbst die schon erwähnten online-Tools. Diese können solche Rechnungen viel besser überprüfen als jeder Helfer hier. Es gehört auch zum Studium zu lernen sich solcher Tools zu bedienen.

Gerne können wir bei den Ansätzen und Umformungen helfen.