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Aufgabe:

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\( \int \limits_{1}^{2}\left(\int \limits_{x}^{x^{2}}(2 x-y) d y\right) d x \)


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\( \int \limits_{1}^{2}\left(\int \limits_{x}^{x^{2}}(2 x-y) d y\right) d x \)



Problem/Ansatz:

Hallo könnte mir jemand bei diesem Doppelintegral helfen. Ich soll es sowohl berechnen als auch graphisch darstellen. (kartesische Koordinaten).

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Aloha :)

Aus den Integrationsgrenzen kannst du erkennen, über welche Menge \(M\) integriert wird:$$M=\{(x;y)\in\mathbb R^2\,\big|\,x\in[1;2]\;\land\;y\in[x;x^2]\}$$

Das ist die Fläche zwischen den Graphen von \(g_1(x)=x\) und \(g_2(x)=x^2\):

~plot~ x*(x>=1)*(x<=2) ; x^2*(x>=1)*(x<=2) ; [[1|2,1|0|4]] ~plot~

Die Fläche ist nun:$$I=\int\limits_1^2\left(\int\limits_x^{x^2}(2x-y)dy\right)dx=\int\limits_1^2\left[2xy-\frac{y^2}{2}\right]_{y=x}^{x^2}dx$$$$\phantom{I}=\int\limits_1^2\left(\left(2x^3-\frac{x^4}{2}\right)-\left(2x^2-\frac{x^2}{2}\right)\right)dx=\int\limits_1^2\left(-\frac{x^4}{2}+2x^3-\frac{3x^2}{2}\right)dx$$$$\phantom{I}=\left[-\frac{x^5}{10}+\frac{x^4}{2}-\frac{x^3}{2}\right]_1^2=\left(-\frac{32}{10}+8-4\right)-\left(-\frac{1}{10}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right)=\frac{9}{10}$$

Avatar von 152 k 🚀

mhh ich habe jetzt 9/10 raus, habe allerdings auch mit dy gerechnet. Bei dir steht jetzt ja doppelt dx. Das verstehe ich leider nciht so ganz

Da habe ich mich vertan, gemeint war natürlich \(dy\).

Habe es korrigiert, bekomme auch \(\frac{9}{10}\) raus ;)

Hallo,

in der Beschreibung von M steht x in [0,1], muss es nicht x in [1,2] sein?

Gruß Mathhilf

Ja, gut gesehen. Danke dir. Korrigiere ich gleich. Zum Glück habe ich mit \([1;2]\) gerechnet ;)

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