Zeige, welcher der beiden Bäume zuerst eine Höhe von 3,1 {~m} erreicht.

Question

Text erkannt:

Aufgabe: Baumwachstum

Äpfel und Birnen bringen nur dann regelmäßige Erträge, wenn generatives und vegetatives Wachstum in einem ausgeglichenen Verhältnis zueinanderstehen. Dies bedeutet, dass das Triebwachstum in den meisten Fällen durch geeignete Maßnahmen reguliert werden muss. Neben der Düngung können verschiedene mechanische Maßnahmen wuchsregulierend wirken. Bei der Pflege von Obstbäumen unterscheidet man den Sommer- und den Winterschnitt. Der Rückschnitt nach dem Laubabwurf während der Saftruhe regt das Wachstum an. Der Obstbaumschnitt im Sommer bremst die Wuchskraft und fördert dafür einen reichen Blüten- und Fruchtansatz. Dafür spricht auch, dass im Saftfluss stehende Bäume Wunden rasch verschließen und eindringende Pilzerreger oder Bakterien- und Virusinfektion abwehren können. Einen kräftigen Schnitt vertragen Apfelbäume und Birnbäume.

Die Wachstumsgeschwindigkeit eines Birnbaums, der zu Beobachtungsbeginn \( 1,2 \mathrm{~m} \) hoch ist, wird für \( 0 \leq \mathrm{t} \leq 8 \) modellhaft beschrieben durch die Funktion \( \mathrm{g} \) mit
\( g(t)=t^{2} \cdot e^{-t} \) (t in Jahren nach Beobachtungsbeginn, \( \mathrm{g}(\mathrm{t}) \) in Meter pro Jahr)
a) Beschreibe den Wachstumsverlauf des Baumes.
b) Formuliere eine Frage im Sachzusammenhang, die auf die Gleichung
\( \frac{1}{5} \cdot \int \limits_{x}^{x+5} g(t) d t=0,3 \)
c) Ermittle eine Funktion \( h \), die die Höhe des Birnenbaumes beschreibt.
d) Durch die Zugabe eines Düngers wird das Wachstums von Birnbäumen beeinflusst. Die Höhe eines gedüngten Birnbaums wird durch die Funktion \( \mathrm{k} \) beschrieben mit \( \mathrm{t} k(t)=-2,3 e^{-t}+3,5 \quad \) ( \( t \geq 0 \) in Jahren nach Beobachtungsbeginn, \( k(t) \) in Meter). Die Höhe eines ungedüngten Birnbaums wird weiterhin durch die Funktion \( h \) beschrieben. Beide Birnbäume haben zu Beobachtungsbeginn dieselbe Höhe.

Text erkannt:

Vergleiche das Wachstum der beiden Bäume und erläutere Unterschiede in der Wachstumsgeschwindigkeit. Zeige, welcher der beiden Bäume zuerst eine Höhe von \( 3,1 \mathrm{~m} \) erreicht.
e) Interpretiere deine Ergebnisse bzgl. des Wachstums der Birnenbäume im Sachkontext (z.B. Schnitt).
f) Auf der Obstplantage wird ein Handymast gebaut, um besseren Handyempfang für die Mitarbeiter zu garantieren.
Die Ebene \( E: x_{1}+x_{2}+2 x_{3}=8 \) stellt für \( x_{3} \geq 0 \) einen Hang dar, der aus der \( x_{1}-x_{2} \) - Ebene aufsteigt.
Im Punkt \( \mathrm{H}(6|4| 0) \) steht ein \( 80 \mathrm{~m} \) hoher Sendemast senkrecht zur \( \mathrm{x}_{1}-\mathrm{x}_{2} \)-Ebene.
(1 LE entspricht \( 10 \mathrm{~m} \) ).
Der Sendemast wird auf halber Höhe mit einem möglichst kurzen Stahlseil am Hang verankert. Berechne die Koordinaten des Verankerungspunktes am Hang. Bestimme die Länge des Stahlseils.

Answer 1

a) Zeichne den Graphen und beschreibe ihn. Gehe dabei auf besondere Punkte des Graphen ein.

b) Mit dem Integral wird der Mittelwert der Funktion in einem Zeitraum von 5 Jahren berechnet.

c) Mit dem Integral kann man berechnen, wie viel Meter der Baum in einem bestimmten Zeitraum gewachsen ist. Beachte dazu noch die Anfangshöhe. Finde also eine geeignete Stammfunktion.

d) Zeichne auch den anderen Graphen und vergleiche. Gehe auch hier auf die besonderen Punkte ein. Wann wächst welcher Baum schneller? Für die gesuchte Höhe löse \(1,2+\int_0^a\!g(t)\mathrm{d}t=3,1\) für beide Funktionen nach \(a\) auf.

e) Lässt sich direkt mit Aufgabe d) kombinieren.

f) Hier geht es um den Abstand Punkt-Ebene.

Answer 2

a) Beschreibe den Wachstumsverlauf des Baumes.

Meist hilft es sich den Graphen der Funktion zu skizzieren.

~plot~ x^2*e^(-x);3.2-e^(-x)(x^2+2x+2);[[0|8|0|3.5]] ~plot~

Achtung blau ist die Funktion der Wachstumsrate und rot ist die Funktion der Baumhöhe, um die das auch bei c) geht.