Aloha :)
1) Bestimmung des Volumens
Bei Rotation der Funktion \(y=\sqrt x\) um die \(y\)-Achse entsteht bei \(y=\tilde y\) ein Kreis mit Radius \(r=\tilde y^2\) senkrecht zur \(y\)-Achse und mit Mittelpunkt auf der \(y\)-Achse. Die Fläche dieses Kreises ist \(F(\tilde y)=\pi r^2=\pi \tilde y^4\).
Der kreisrunde Ausfluss am unteren Ende des Trichters hat den Radius \(r_0=1\) und befindet sich daher bei \(y_0=\sqrt{r_0}=1\). Die Wasseroberfläche des gefüllten Trichters hat den Radius \(r_1=100\) und befindet sich daher bei \(y_1=\sqrt{r_1}=10\). Das gesamte Volumen des Trichters erhalten wir daher, indem wir die Flächen \(F(\tilde y)\) entlang der \(y\)-Achse im Intervall \(\tilde y\in[1;10]\) integrieren.
Für die weitere Fragestellung brauchen wir jedoch allgemeiner das Volumen des Trichters, der bis zu \(y\in[1;10]\) gefüllt ist. Daher wählen wir als obere Grenze für das Integral nicht \(y_1=10\), sondern \(y_1=y\).$$V(y)=\int\limits_{y_0}^{y_1}F(\tilde y)\,dy=\int\limits_1^y\pi \tilde y^4\,d\tilde y=\left[\frac\pi5\tilde y^5\right]_1^y=\frac\pi5\left(y^5-1\right)\quad;\quad y\in[1;10]$$
Die Änderung des Volumens mit der Zeit \(t\) hängt davon ab, wie sich \(y\) mit der Zeit ändert, konkret gilt nach der Kettenregel:$$\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dy}\cdot\frac{dy}{dt}=\pi y^4(t)\cdot y'(t)$$
2) Aufstellen der Differentialgleichung
Ein Volumen \(V\) ist mit einer Flüssigkeit gefüllt, es hat eine Austrittsöffnung der Fläche \(A\). Aus dieser Öffnung strömt die Flüssigkeit mit der Geschwindigkeit \(v(t)\) heraus. Während eines Zeitintervalls \(\Delta t\) ergibt das eine Flüssigkeitssäule der Länge \(\Delta s=v(t)\cdot\Delta t\) und ein ausströmendes Volumen von \(\Delta V=-A\cdot\Delta s\). Das Minuszeichen zeigt an, dass das ursprüngliche Volumen um diesen Betrag abnimmt. Formal heißt das:$$\frac{\Delta V}{\Delta t}=-\frac{A\cdot\Delta s}{\Delta t}=-A\cdot\frac{\Delta s}{\Delta t}$$
Da hier \(v(t)\) nicht konstant ist, sondern von dem Volumen \(V\) bzw. von der Zeit \(t\) abhängt, bilden wir den Grenzübergang \(\Delta t\to0\) und erhalten die Differentialgleichung:$$\frac{dV}{dt}=-A\cdot\frac{ds}{dt}=-A\cdot v(t)$$
Die Austrittsöffnung ist hier kreisrund und hat den Durchmesser \(2\,\mathrm{cm}\), also die Austrittsfläche \(A=\pi\,\mathrm{cm}^2\). Die Austrittsgeschwindigkeit \(v(t)\) ist uns gegeben, sodass schließlich gilt:$$\frac{dV}{dt}=-20\pi\,\sqrt{5y(t)}\;\frac{\mathrm{cm}^3}{\mathrm s}$$
Wir setzen \(\frac{dV}{dt}\) aus Teil (1) ein und lassen die EInheiten weg:$$\pi y^4(t)\cdot y'(t)=-20\pi\sqrt{5y(t)}\quad\implies\quad y'(t)=-20\sqrt5\cdot \left[y(t)\right]^{-7/2}$$
