Differentialgleichung Homogenes lineares System

Question

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Aufgabe 2 Sei \( \mathcal{S} \) die Menge derjenigen Lösungen \( (x, y): \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) des homogenen linearen Systems
\( \left\{\begin{array}{l} x^{\prime}(t)=\log \left(t^{2}+1\right) x(t)+\sqrt{t^{2}+1} y(t) \\ y^{\prime}(t)=\frac{1}{\sqrt{t^{2}+1}} x(t)-2 \log \left(t^{2}+1\right) y(t) \end{array}\right. \)
deren Anfangspunkt \( (x(0), y(0)) \) zu \( [0,1] \times[0,2] \) gehört. Hier bezeichnet log den natürlichen Logarithmus. Gegeben \( t \in \mathbb{R} \), bestimmen Sie den Flächeninhalt der folgenden Menge:
\( \{(x(t), y(t)) \mid(x, y) \in \mathcal{S}\} . \)

Ändert sich die Antwort, wenn man (1) durch das nicht-homogene lineare System
\( \left\{\begin{array}{l} x^{\prime}(t)=\log \left(t^{2}+1\right) x(t)+\sqrt{t^{2}+1} y(t)+e^{t^{2}+1} \\ y^{\prime}(t)=\frac{1}{\sqrt{t^{2}+1}} x(t)-2 \log \left(t^{2}+1\right) y(t)-\arctan t \end{array}\right. \)
ersetzt? Rechtfertigen Sie Ihre Antwort.

Aufgabe:

Guten Morgen, kann mir jemand bei folgender Aufgabe behilflich sein?

Answer 1

Hier kannst du das verallgemeinerte Liouville-Theorem benutzen. Du hast

\(\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} F_1(x,y)\\ F_2(x,y) \end{pmatrix} = F(x,y)\)

Sei nun \(A(0)= 2\) die Fläche des gegebenen Rechteck. Dann gilt für die zeitliche Entwicklung \(A(t)\)

\(A(t) = A(0) e^{\int_0^t\operatorname{div}_{x,y}F(x,y) \, d\tau}\)

Nun ist \(\operatorname{div}_{x,y}F(x,y) = \log(t^2+1)-2\log(t^2+1)=-\log(t^2+1)\)

Dies gilt übrigens auch für das inhomogene System. Es wird nur die Divergenz bzgl. \(x, y\) gebildet.

Jetzt musst du nur noch \(-\int_0^{t}\log(\tau^2+1)\,d\tau\) ausrechnen und einsetzen. Das überlass ich dir.

Zur Überprüfung des Integrals siehe zum Beipiel hier.

Comments

Danke zunächst!

Kann ich dich fragen, wieso genau du A(0)=2 annimmst?

Beste Grüße

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Ich habe zudem raus, dass sich der Flächeninhalt bei dem inhomogenen System nicht ändert, da die Divergenz der Vektorfrlder ja die gleiche ist. e^(t^2+1) und arctan t sind dann ja nur Konstanten, die beim Ableiten wegfallen, oder?

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... wieso genau du A(0)=2 annimmst?

Lies deine Aufgabe bitte. Es werden die Trajektorien der Lösungen betrachtet, die ihren Startpunkt im Rechteck \( [0,1]\times [0,2]\) haben.

Wie groß ist denn dieses Rechteck? Das ist \(A(0)\).

Jetzt schreitet man auf allen Trajektorien gleichzeitig voran. Zu jedem Zeitpunkt \(t>0\) bilden die zugehörigen Punkte auf den Trajektorien wieder eine Fläche \(A(t)\).

Es geht nun darum, diese Fläche \(A(t)\) zu bestimmen.

Ich habe zudem raus, dass sich der Flächeninhalt bei dem inhomogenen System nicht ändert, da die Divergenz der Vektorfrlder ja die gleiche ist.

Wer liest, ist klar im Vorteil. Das steht auch in meiner Lösung.