Linear homogenes Dgl AWp bestimmen

Question

ich verstehe den folgenden Rechenschritt nicht, den ich auf dem Bild markiert habe.

Kann jemand dies bitte erklären ?

Answer 1

Hi,
$$ e^{t (a I + N)} = e^{t a I } e^{ t N } $$
$$ e^{t a I } = \begin{pmatrix}  \sum_{k=0}^\infty \frac{t^k a^k}{k!} & 0 \\ 0 & \sum_{k=0}^\infty \frac{t^k a^k}{k!} \end{pmatrix} = e^{at} I $$
$$ e^{ t N } = \sum_{k=0}^\infty \frac{t^k N^k}{k!} = \sum_{k=0}^2 \frac{t^k N^k}{k!} = I + N + \frac{t^2}{2} N^2 $$