Kovarianz berechnen - was setzt man in die Formel ein?

Question

Aufgabe:

Ich habe einen Zufallsvektor (X,Y) mir der folgenden Verteilung

X/Y	-2	0	1
-2	\( \frac{1}{15} \)	0	\( \frac{3}{15} \)
1	\( \frac{2}{15} \)	\( \frac{1}{15} \)	\( \frac{3}{15} \)
3	\( \frac{3}{15} \)	\( \frac{2}{15} \)	0

Die Verteilungen von X und Y sind:

ℙ(X=-2) = \( \frac{4}{15} \) , ℙ(X=1) = \( \frac{6}{15} \) , ℙ(X=3) = \( \frac{1}{3} \)

ℙ(Y=-2) = \( \frac{6}{15} \) , ℙ(Y=0) = \( \frac{1}{5} \) , ℙ(Y=1) = \( \frac{6}{15} \) .

Nun soll ich die Kovarianz von X und Y berechnen. Die Formel aus dem Skript ist

Cov(X,Y)=Ε((X-E(X))·(Y-E(Y))) .

Für die Erwartungswerte habe ich E(X)= \( \frac{13}{15} \) und E(Y)= \( \frac{-6}{15} \) .

Mein Problem: Was setzt man denn in der Formel für X und Y ein? Das sind ja keine einfachen Zahlen. Und wir berechnet man dann am Ende nochmal den Erwartungswert von dem Ganzen?

Dankeschön! :-*

Answer 1

Du berechnest natürlich die einzelnen Erwartungswerte. Hier hilft bspw. auch der Verschiebungssatz: \(\operatorname{Cov}(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y]\). Du brauchst also die Verteilung von \(XY\) und dann davon den Erwartungswert.

Wenn du den Verschiebungssatz nicht nutzen darfst, multipliziere die Klammer im Erwartungswert aus und nutze dann die Linearität des Erwartungswertes aus. Aber auch hier brauchst du die Verteilung von \(XY\). Diese solltest du mit deiner Tabelle aber bestimmen können.

Comments

Oh, danke, das mit dem Verschiebungssatz kannte ich noch nicht, aber dann ist es ja leichter :)

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Der Nachweis ist auch recht einfach:

\(E[(X-E[X])(Y-E[Y])]\)

\(=E[XY-E[X]Y-XE[Y]+E[X]E[Y]]\)

\(=E[XY]-E[X]E[Y]-E[X]E[Y]+E[X]E[Y]\)

\(=E[XY]-E[X]E[Y]\)

Die Erwartungswerte sind ja lediglich Zahlen, so dass man hier einfach mit der Linearität des Erwartungswertes arbeiten kann.