Integral mit arctan wie gelöst

Question

Aufgabe:

\(\displaystyle \int \frac{2 x-1}{x^{2}+4 x+5} \mathrm{~d} x= \left[\ln \left(x^{2}+4 x+5\right)-5 \arctan (x+2)\right] \)

Problem/Ansatz:

Bei diesem Integral komme ich selbst nicht ganz auf das Ergebnis. Ich habe versucht es in 2 Teile aufzuteilen, aber weiß nicht wie man auf den arctan kommt.

LG

Answer 1

Hallo,

Quelle: https://www.integralrechner.de/

Schreibe \( 2 x-1 \) als \( 2 x+4-5 \) und teile auf:

\( =\int\left(\frac{2 x+4}{x^{2}+4 x+5}-\frac{5}{x^{2}+4 x+5}\right) \mathrm{d} x \)

aber weiß nicht wie man auf den arctan kommt:

habe die 5 mal weggelassen, muß aber stehen.

Answer 2

Es ist

\(\frac{2x-1}{x^2+4x+5}=\frac{2x+4}{x^2+4x+5}-\frac{5}{(x+2)^2+1}\).

Im ersten Bruch steht die Ableitung des Nenners im Zähler. Deswegen liefert der \(ln\) die entsprechende Stammfunktion.

Der zweite Bruch hat die Gestalt \(\frac{1}{x^2+1}\). Das ist die Ableitung des Arkustangens (sollte man kennen, wenn man häufiger damit arbeitet, Integraltabelle). In diesem Fall gibt es noch den Faktor 5 im Zähler, so wie die lineare Verschiebung \(x+2\), so dass wir als Stammfunktion \(5\arctan(x+2)\) erhalten.

Wenn etwas unklar ist, sag Bescheid. Ich weiß ja nicht, wie weit du in deiner Rechnung gekommen bist.