Wie kommt man auf den Erwartungswert und auf die Varianz

Question

Aufgabe:

Wie geht man bei der c) iii) vor, um in der Klammer auf (1.451) zu kommen, bzw. ist mir nicht klar was hier der Erwartungswert und die Varianz ist

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

Aufgabe 4 (25 Punkte)
Maria Maxima ist eine Studentin im 3. Semester kurz vor einer wichtigen Mathematikklausur. Sie hat 16 Studierende des 5 . Semesters, deren Fähigkeiten sie ungefähr gleich zu den ihrigen einschätzt, nach ihrer erreichten Punktzahl in der Mathematikklausur befragt. Aus den Daten berechnet sie ein Stichprobenmittel von 21.2 bei einer Stichprobenvarianz von \( (5.6)^{2} \).

Text erkannt:

(c) Student S. erfährt, dass im Vorjahr 121 der 425 Klausurteilnehmer die Klausur bei Professor A. nicht bestanden haben. Ausgehend von diesen Daten beschließt er, die Wahrscheinlichkeit \( p \), mit der ein zufällig ausgewählter Student die Klausur nicht besteht, zu schätzen.
(i) Verwenden Sie einen erwartungstreuen Schätzer, um eine Punktschätzung für \( p \) zu berechnen und geben Sie diese an.
(ii) Geben Sie ein approximatives 0.95 -Konfidenzintervall für \( p \) an.
(iii) In diesem Jahr schreiben 415 Studenten eine Klausur bei Professor A. Nehmen Sie an, die tatsächliche Durchfallquote liegt in dem in Aufgabenteil (ii) berechneten Konfidenzintervall. Geben Sie eine approximative obere Schranke für die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 150 Stundenten die Prüfung nicht bestehen, an.

Text erkannt:

\( P(x>150)=1-P(x \leq 150)=1-\Phi(1,451)=9074 \)

Answer 1

Die Anzahl der Studenten, die nicht bestehen, ist binomialverteilt mit den Parametern \(n=415\) und \(p\). Die Durchfallwahrscheinlichkeit wurde in der Aufgabe zuvor geschätzt. Da die obere Schranke möglichst groß sein soll, wählst du als \(p\) den größtmöglichen Wert aus dem Konfidenzintervall. Dann musst du nur noch eine Normalapproximation durchführen. Erwartungswert und Varianz bekommst du also von der Binomialverteilung.

Comments

Genau so hätte ih das gemacht aber ich bekomme da nicht auf 1.451. Kann aber auch sein das ich mich vorhin auf die schnelle verrechnet habe.

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Der Weg ist das Ziel. :)

Answer 2

Ich poste mal meine Rechnung. Ich weiß nicht ob das nur Rundungsdifferenzen sind.

a)

p = 121/425 = 0.2847

b)

σ = √(425·121/425·(1 - 121/425)) = 44/85·√323 = 9.303

Konfidenzintervall für p
[(121/425) - 1.96·(44/85·√323)/425, (121/425) + 1.96·(44/85·√323)/425] = [0.2418, 0.3276]

c)

P(X > 150) = 1 - Φ((150 - 415·0.3276)/√(415·0.3276·(1 - 0.3276))) = 1 - Φ(1.469) = 0.07092

Also auch wenn ich mit exakten Werten rechne stimmt es nicht. Erst recht nicht wenn ich die stetige Ergänzung mache. Vielleicht seht ihr ja einen Fehler. Gerade wenn man mal a) und b) vergleicht.