Zufallsvariable mit der Dichtefunktion - Varianz und Erwartungswert berechnen

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie für Zufallsvariable X mit der Dichtefunktion

\(\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}2 x & \text { für } x \in[0,1] \\ 0 & \text { sonst }\end{array}\right. \)

den Erwartungswert die Varianz

Problem/Ansatz:

Bisher habe ich die Bernoulliverteilung versucht aber irgentwie mache ich etwas falsch. Bitte um Hilfe bzw. Ansätze

MfG

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Erwartungswert und Varianz bestimmen

Stichworte: erwartungswert,varianz,statistik

Gegeben Sei für die Zufallsvariable X mit der Dichtefunktion:

f(x)= {2x für x ∈ [0,1]

        0 sonst

Berechen Sie den Erwartungswert und die Varianz

Antworten:

A 1

B 2/3

C 1/2

D 1/3

E 1/18

F 5/12

G 11/12

H keine der Antworten trifft zu

---

Wieso findest Du die Formeln dafür nicht?

Und beim Multiple Choice lieferst Du jeweils eine Zahl, gefragt werden aber zwei?

---

Ja 2 sollen davon richtig sein

---

Wieso findest Du die Formeln dafür nicht?

A) Die kleine Schwester hat meine Formelsammlung geklaut.
B) Der Gerichtsvollzieher hat sie mitgenommen (Formelsammlung, nicht Schwester).
C) Weiß nicht.
D) Bin gerade in U-Haft und da gibts keine Formelsammlung.
E) Bin gerade auf Intensivstation und kann nicht aufstehen.
F) Etwas anderes.

---

https://de.wikipedia.org/wiki/Erwartungswert#Zufallsvariable_mit_Dichte

Answer 1

Erwartungswert einer reellen Zufallsvariable \(X\) mit Dichtefunktion \(f\) ist

        \(\operatorname{E}(X) = \int\limits_{-\infty}^\infty x\cdot f(x)\,\mathrm{d}x\).

Varianz einer reellen Zufallsvariable \(X\) mit Dichtefunktion \(f\) ist

    \(\operatorname{Var}(X) = \int\limits_{-\infty}^\infty (x-\operatorname{E}(X))^2\cdot f(x)\,\mathrm{d}x\).

Comments

könnten sie mir vielleicht eine beispiel berechnung dafür geben ? oder vielleicht die aufgabe berechnen?

---

\(\begin{aligned} \operatorname{E}(X) & =\int\limits _{-\infty}^{\infty}x\cdot f(x)\,\mathrm{d}x\\ & =\int\limits _{-\infty}^{0}x\cdot f(x)\,\mathrm{d}x+\int\limits _{0}^{1}x\cdot f(x)\,\mathrm{d}x+\int\limits _{1}^{\infty}x\cdot f(x)\,\mathrm{d}x\\ & =\int\limits _{-\infty}^{0}x\cdot0\,\mathrm{d}x+\int\limits _{0}^{1}x\cdot2x\,\mathrm{d}x+\int\limits _{1}^{\infty}x\cdot0\,\mathrm{d}x\\ & =0+\int\limits _{0}^{1}x\cdot2x\,\mathrm{d}x+0\\ & =\int\limits _{0}^{1}2x^{2}\,\mathrm{d}x \end{aligned}\)

Answer 2

\(\displaystyle E[X] = \int \limits_{0}^{1} x \cdot 2 x \; d x \)

\(\displaystyle V[X] = \int \limits_{0}^{1}\left(x-E[X]\right)^{2} \cdot 2 x \; d x \)