Ich würde gerne zeigen
$$\sum_{i=0}^n \cos \left(k \cdot \frac{2 i+1}{n+1} \cdot \frac{\pi}{2}\right) \cdot \cos \left(l \cdot \frac{2 i+1}{n+1} \cdot \frac{\pi}{2}\right) = 0,\quad l \neq k,~~ l,k \in \mathbb N$$
Hab versucht Cosinus als Realteil von Exponentialfunktion und geometrischer Summenformel zu rechnen aber bin nicht ganz hingekommen. Dabei habe ich versucht
$$\cos \left(k \frac{2 j+1}{n+1} \frac{\pi}{2}\right) \cos \left(l \frac{2 j+1}{n+1} \frac{\pi}{2}\right)=\frac{1}{2}\left[\cos \left((k+l) \frac{2 j+1}{n+1} \frac{\pi}{2}\right)+\cos \left((k-l) \frac{2 j+1}{n+1} \frac{\pi}{2}\right)\right]$$
zu nutzen.
Soweit bin ich gekommmen:
$$\operatorname{Re}\left(\sum_{j=0}^n \exp \left(i m\cdot \frac{ j}{n+1} \cdot\pi\right) \cdot\exp \left(\frac{i m \pi}{2(n+1)}\right)\right) = $$
$$= \operatorname{Re}\left(\exp \left(\frac{i m \pi}{2(n+1)}\right) \sum_{j=0}^n \exp \left(i m \cdot \frac{j}{n+1} \cdot \pi\right)\right) =$$
$$= \operatorname{Re}\left(\exp \left(\frac{i m \pi}{2(n+1)}\right) \dfrac{\exp(im \pi) - 1}{\exp \left(\frac{im\pi}{n+1}\right) - 1} \right) $$
Nun weiß ich nicht wie ich hier weiter vereinfachen kann
Wolfram Alpha gibt mir
$$\sum_{i=0}^n \cos \left(\frac{\pi(2 i+1) m}{2(n+1)}\right)=\frac{1}{2} \sin (\pi m) \csc \left(\frac{\pi m}{2 n+2}\right)$$
was auch zu meinem gewünschten Ergebnis führen würde wenn ich dies zeigen könnte.
Danke im Voraus!
