Funktionenmenge topologisch untersuchen

Question

Hi,

ich habe hier eine Aufgabe, die ich gerne lösen würde. Ich brauche ein paar Tipps, da ich nicht genau weiss wie ich soetwas mache. (Bitte aber keine Lösung, da ich es schon selbst machen möchte)

Aufgabe:

Man befindet sich nun in C[a,b], den Raum aller stetigen Funktionen in dem kompakten Intervall [a,b]. Hierbei betrachtet man die Supremumsnorm auf C[a,b].

Dann definiert man folgende Menge
X := {f ∈ C[a,b] : f(a) ∈ Q ∩ (0,1)} ⊂ C[a,b].

Problem: Bestimme das Innere, den Abschluss und den Rand dieser Menge.

Meine Idee: Die Menge ist ja weder offen noch abgeschlossen, d.h. das Innere ist ja schon mal eine echte Teilmenge von X und der Abschluss ist ja dann eine echte Obermenge von X. Ich weiss aber nicht, ob hier diese Info etwas bringt.

Answer 1

Das Innere: Nehme mal an \( f \in X^{\circ}  \), es gibt also ein \( \varepsilon > 0 \) sodass \( \|g - f \|_{  \infty } < \varepsilon \)  auch \( g \in X \) impliziert.
Aber was würde das für die Funktionen \( g _{ \delta } = f + \delta \) für \( 0 < \delta < \varepsilon \) bedeuten?

Der Abschluss: Sei \(  ( f_{ n} )_{ n \geqslant 1} \subset X\)  mit \( \| f_{ n} - f\|_{  \infty } \to 0 \) für ein \( f \in C( [ a, b] )  \).
Dann konvergiert \( f_{ n}  \) gleichmässig gegen \( f \). Überleg dir also mal, welche Funktionen
in \( C( [ a, b] )  \) du gleichmässig durch Funktionen in \( X \) approximieren kannst.

Den Rand kannst du ja aus den vorherigen beiden Punkten dann bestimmen.

Comments

Dankeschön :)