Hi
ist mein Beweis richtig?
Text erkannt:
(2) Sei \( X \) ein metrischer Raum mit Metrik \( d \&\left(X_{n}\right. \) neN \( \in X \) eme Folge in \( X \) Zeige: \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=x \in X \) exishert genau dam, wenn für jede offene Menge \( U \subset X \) mil \( x \in U \) die Indermenge \{ne \( \mathbb{N} \mid x_{n} \notin U l \) endlich ist.
Beweis.
Sei \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=x \in X \), dann ist \( \left(d\left(x_{n}, x\right)\right)_{n \in \mathbb{N}} \) eime Nullfolge, dh. \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} d\left(x_{n} x\right)=0 \). Wähle e eine oftene Menge U Da U otten ist, äquivalent für alle \( n \geqslant N \) ist \( x_{n} \in B_{r}(x) \subset U \).
Seinun umgekehrt UcX eine boliebige oftene Menge \& Xein \( \in>0 \) gegeben. Sei weiler \( \left(X_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \in X \) eine Folge \& \( x \in U \). Da es eine endliche Menge \( I=\left\{1, \ldots m \in \mathbb{N}\right. \) mit \( x_{i} \notin U(i=1, \ldots m) \) gibt \& U offen ist, isterstens \( B_{\in}(x) \subset U \& \) somit auich für \( i \in I \) \( x_{i} \notin B_{e}(x) \). Dann gibtes ein \( N^{\prime} \in \mathbb{N} \) mit \( N^{\prime}=m \), sodass \( x_{n} \in U \). Wähhe man dann \( N=N^{\prime} \), so gilt auch \( x_{n} \in B_{e}(x) c U \) \& somit dam auch die Behouptung.
