Antwort mit KI erzeugt
Aufgabe:
Gegeben ist ein einfacher, zusammenhängender, planarer, 3-regulärer Graph \( G \), der die Ebene in 4 sechseckige und \( n \) dreieckige Flächen unterteilt. Zu bestimmen sind:
1. \( n \) (Anzahl der dreieckigen Flächen)
2. Die Anzahl der Kanten (\( E \))
3. Die Anzahl der Knoten (\( V \))
Ansatz und Lösungsweg:
1.
Bestimmung der Anzahl der Kanten (\( E \)):
Ein 3-regulärer Graph bedeutet, dass jeder Knoten genau 3 Kanten hat.
Die Gesamtanzahl der Kanten kann durch die Anzahl der Flächen berechnet werden. Da wir vier 6-Ecke und \( n \) 3-Ecke haben, ist die Gesamtanzahl der Kanten:
\( E = \frac{6 \cdot 4 + 3n}{2} \)
Hierbei werden die Kanten zweimal gezählt (einmal an jeder Flächenseite), daher teilen wir diesen Ausdruck durch 2:
\( E = \frac{24 + 3n}{2} \)
2.
Verwendung der Eulerschen Polyederformel:
Die eulersche Polyederformel lautet:
\( V - E + F = 2 \)
Hierbei ist \( F \) die Anzahl der Flächen des Graphen. In unserem Fall ist:
\( F = 4 + n \)
\( V \) ist die Anzahl der Knoten und \( E \) die Anzahl der Kanten. Diese können wir mit unserer vorherigen Gleichung ausdrücken.
3.
Beziehung zwischen Knoten und Kanten in einem 3-regulären Graph:
Da der Graph 3-regulär ist:
\( 3V = 2E \)
Weil jede Kante zwei Enden hat und jeder Knoten von drei Kanten verbunden ist:
\( E = \frac{3V}{2} \)
Nun setzen wir diesen Wert von \( E \) in die eulersche Polyederformel ein:
\( V - \frac{3V}{2} + (4 + n) = 2 \)
4.
Bestimmung der Anzahl der Knoten (\( V \)):
Um die Anzahl der Knoten zu bestimmen, lösen wir die Gleichung nach \( V \) auf:
\( V - \frac{3V}{2} + 4 + n = 2 \)
\( V - \frac{3V}{2} = -2 - n \)
\( V - \frac{3V}{2} = -2 - n \)
\( -\frac{V}{2} = -2 - n \)
\(-V = -4 - 2n \)
\( V = 4 + 2n \)
Da \( E = \frac{3V}{2} \) ist, können wir \( E \) nun ebenfalls bestimmen:
\( E = \frac{3(4 + 2n)}{2} = 6 + 3n \)
5.
Bestimmung der Anzahl der Kanten und Flächen:
Nun haben wir:
\( V = 4 + 2n \)
\( E = 6 + 3n \)
Setzen wir diese zurück in die Polyederformel (zur Verifikation):
\( V - E + F = 2 \)
\( (4 + 2n) - (6 + 3n) + (4 + n) = 2 \)
\( 4 + 2n - 6 - 3n + 4 + n = 2 \)
\( (4 - 6 + 4) + (2n - 3n + n) = 2 \)
\( 2 + 0 = 2 \)
Die Formel ist erfüllt!
Schlussfolgerung:
- Anzahl der dreieckigen Flächen (\( n \)): \( n \)
- Anzahl der Kanten (\( E \)): \( 6 + 3n \)
- Anzahl der Knoten (\( V \)): \( 4 + 2n \)
