Hallo!
Aktuell beschäftige ich mich mit dem Thema Submersionen, Immersionen und Untermannigfaltigkeiten.
Was eine Immersion ist, habe ich verstanden: Bei einer Abbildung f:R^n->R^m (n<m) ist das Differenzial injektiv, d.i. die n-Spaltenvektoren sind linear unabhängig, so dass die Ableitung nicht "verschwinden" kann, also bei einer Änderung \(\Delta x\) ist die Änderung \(\Delta y\) ungleich Null: \(\Delta y=df\cdot \Delta x\). (Korrekt?)
Nun ist aber die Schwierigkeit, dass ich bis jetzt keine solche geometrische Interpretation für die Submersion gefunden habe. Mir ist auch klar, dass das Differenzial einer Submersion per definitionem eben surjektiv sein muss, also für eine Abbildung f:R^n->R^m (m<n) das Differenzial m-verschiedene Zeilenvektoren haben muss. Nur was bedeutet das dann, sprich welche Wirkung hat das?
Mir stellt sich diese anwendungsbezogene Frage, da z.B. bei der Definition der Untermannigfaltigkeit:
Text erkannt:
Definition 2.15.10 Eine (nicht leere) Teilmenge \( M \subset \mathbb{R}^{n} \) heißt Untermannigfaltigkeit der Dimension \( k \in\{0, \ldots, n\} \) und der Klasse \( C^{r}(r \geq 1) \), wenn es zu jedem Punkt \( p \in M \) eine offene Umgebung \( U \subset \mathbb{R}^{n} \) gibt und \( r \)-mal stetig differenzierbare Funktionen \( f_{1}, \ldots, f_{n-k}: U \rightarrow \mathbb{R} \), sodass \( f=\left(f_{1}, \ldots, f_{n-k}\right)^{\top}: U \rightarrow \mathbb{R}^{n-k} \) an der Stelle \( p \) submersiv ist und \( M \cap U=f^{-1}(0) \).
explizit gefordert wird, dass das eine Submersion ist und u.a. das verstehe ich aktuell noch nicht ganz.
Vielen Dank im Voraus!
