Wieso fällt "x" bei der Umformung einer Differenzialgleichung n-ter Ordnung in eines erster Ordnung weg?

Question

Hallo!

Man kann ja eine Differenzialgleichung n-ter Ordnung in ein DGLS mit n-Gleichungen erster Ordnung umschreiben. Wir haben das so eingeführt:

Text erkannt:

Definition 3.2.1 Eine gewöhnliche Differenzialgleichung \( n \)-ter Ordnung ist eine Gleichung der Gestalt
\( y^{(n)}=f\left(x, y, y^{\prime}, y^{\prime \prime}, \ldots, y^{(n-1)}\right), \)
wobei \( f: G \rightarrow \mathbb{R} \) eine auf einer Teilmenge \( G \subset \mathbb{R}^{n+1} \) definierte Funktion ist. Eine Lösung der Gleichung (3.2.1) auf einem Intervall I ist eine n-mal differenzierbare Funktion \( \varphi: I \rightarrow \mathbb{R} \), sodass \( \operatorname{graph}\left(\varphi, \varphi^{\prime}, \ldots, \varphi^{(n-1)}\right) \subset G \) und
\( \varphi^{(n)}(x)=f\left(x, \varphi(x), \varphi^{\prime}(x), \ldots, \varphi^{(n-1)}(x)\right) \quad \text { für alle } \quad x \in I . \)

Der Gleichung (3.2.1) können wir ein System von \( n \) Gleichungen erster Ordnung zuordnen:
\( u^{\prime}=F(x, u), \)
wobei
\( F: G \rightarrow \mathbb{R}^{n}, \quad\binom{x}{u}=\left(\begin{array}{c} x \\ u_{0} \\ \vdots \\ u_{n-1} \end{array}\right) \mapsto F(x, u):=\left(\begin{array}{c} u_{1} \\ \vdots \\ u_{n-1} \\ f(x, u) \end{array}\right) . \)

Frage:

Wieso "fällt" die Variable "x" einfach im Zuge dieser Umformung weg, x ist ja die Variable, von der das y abhängt. Die Ableitung \(\frac{d}{dx}\) von \(x\) wäre ja aber 1, warum darf das einfach weggelassen werden? Weil das ergibt als 1 schon fest steht?

Vielen Dank im Voraus!

Comments

Du scheinst den Vektor \(\begin{pmatrix} x\\u \end{pmatrix}\) differenzieren zu wollen. Das ist nicht, was hier passiert.

Setze \(u_k = y^{(k)} \Rightarrow u_0 = y\), \(u_n = y^{(n)} = f(x,u_0,\ldots , u_{n-1})\)

Das System entsteht nun aus folgendem Vektor:

\(u = \begin{pmatrix} u_0\\ \vdots \\ u_{n-2} \\u_{n-1} \end{pmatrix}\)

Dieser Vektor wird bzgl. \(x\) differenziert und du erhältst:

\(u' =   \underbrace{\begin{pmatrix} u_1\\ \vdots \\ u_{n-1} \\ f(x,u) \end{pmatrix}}_{F(x,u)}\)

Auf der rechten Seite des DGL-Systems steht dann die Funktion

\(F: \: \begin{pmatrix} x\\u \end{pmatrix} \mapsto F(x,u)\)

Zusammengefasst:
Beim Überführen der DGL n-ter Ordnung in ein System wird nicht der Vektor \(\begin{pmatrix} x\\u \end{pmatrix}\) differenziert, sondern nur der Vektor \(u\).

Answer 1

Solche Definitionen kann man sich gut an einem Beispiel verdeutlichen.

Betrachte \(y''=f(x,y,y')\).

Setze \(u=\begin{pmatrix}x \\ y \\ y'\end{pmatrix}\). Dann ist \(u'=\begin{pmatrix}1 \\ y' \\ y''\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ y' \\ f(x,y,y')\end{pmatrix}\).

Da du aber eine Lösung für \(y\) suchst, ist die erste Komponente in \(u'\) unbedeutsam, so dass man eben nur die DGL \(u'=\begin{pmatrix}y' \\ f(x,y,y')\end{pmatrix}\) betrachten muss, um \(u\) und damit eben auch \(y\) zu erhalten. Häufig definiert man daher auch nur \(u=\begin{pmatrix}y\\y'\\y''\\\dots \end{pmatrix}\), weil das \(x\) ja nicht benötigt wird.

Comments

Danke für deine Antwort!

Das klingt logisch!

Die Argumentation, warum das x vernachlässigt werden kann ist doch auch folgende:

Das DGLS kann ja mit den verschiedenen Gleichungen geschrieben werden:

\(d/dx\: x=1\)

\(d/dx \:y=y'\)

\(d/dx\: y'=f(x,y,y'\)

-> wodurch man ja die erste Gleichung nicht benötigt, korrekt?

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Genau, da du ja an \(y\) interessiert bist. :)

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Ergänzung:

Setze \(u=\begin{pmatrix}x \\ y \\ y'\end{pmatrix}\). Dann ist \(u'=\begin{pmatrix}1 \\ y' \\ y''\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ y' \\ f(x,y,y')\end{pmatrix}\).

Das System kann man dann mit \(u=\begin{pmatrix}u_1 \\ u_2 \\ u_3\end{pmatrix}\) auch schreiben als

\(u'=\begin{pmatrix}1 \\ u_3 \\ f(u_1,u_2,u_3)\end{pmatrix}\),

und nun kommt gar kein x mehr vor. Das nennt man autonome Dgl und manche Software für Dgl geht von autonomen Dgls aus, was aber keine Einschränkung ist durch diese Umschreibung (also: "o.B.d.A. sei das Dglsystem autonom").