Stochastik/Kombinatorik Urnefrage

Question

Aufgabe:

In einer Urne befinden sich 10 Kugeln, nummeriert von „1“ bis „10“. Begründen Sie jeweils Ihre Antwort:
a) Es werden werden 3 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind das alles Primzahlen (also aus der Menge {2, 3, 5, 7}) ?
c) Es werden 4 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen und die 4 Zahlen werden der Größe nach notiert. Wie viele unterschiedliche Zahlenfolgen lassen sich auf diese Art bilden ?

Problem/Ansatz:

Das war eine Frage aus meiner letzten Mathe Klausur, die ich leider nicht bestanden habe und ich stehe seit heute auf dem Schlauch, wie ich diese Aufgabe lösen kann.

Answer 1

Um die Fragen etwas umzuformulieren für dich.

a) Du ziehst ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge 3 Kugeln aus einer Urne mit 4 "guten" und 6 "schlechten" Kugeln. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ziehst du drei gute?

So eine Aufgabe müsst ihr irgendwo als Beispiel durchgerechnet haben. Um dir auf die Sprünge zu helfen: Bei der ersten Ziehung ziehst du mit \(p_1=\frac{4}{10}\) eine gute Kugel. Bei der zweiten Ziehung mit \(p_2=\frac{3}{9}\). Usw..

c) Du ziehst vier Kugeln ohne Zurücklegen und da du die Folge sortierst, ist es effektiv eine Ziehung ohne Reihenfolge, da die Ziehung \(1,2,3,4\) und \(1,3,2,4\) zum selben Ergebnis führen. Relevant ist nur, welche vier Zahlen du gezogen hast, die Frage lässt sich also umformulieren zu:

Wie viele \(4\)-elementige Teilmengen von \(\{1,2,\ldots,10\}\) gibt es?

Auch hier bietet sich einfach eine Standardformel aus der Vorlesung an.

Answer 2

a)

Da es 4 relevante Kugeln gibt und nach jedem Zug eine weniger vorhanden ist, ergibt sich dieser Ansatz:

4/10*3/9*2/8= 3,33 %

oder:

(4über3)*(10über3) = 3,33 % (hypergeometrische Verteilung)

c) Es gibt insgesamt (10über4) = 210 Vierlinge

vgl. Lotto 6 aus 49 Hier werden am Ende die Zahlen auch der Größe nach präsentiert.