Aloha :)
Bart hat 50 Schüsse und soll 25-mal das Fenster treffen. Da nie zwei Treffer aufeinander folgen dürfen, gibt es 3 mögliche Fälle:
1) Der erste Schuss ist ein Treffer, der letze Schuss geht daneben. Dazwischen wechseln sich Treffer und Fehlschüsse ab.
2) Der erste Schuss geht daneben, der letzte Schuss ist ein Treffer. Dazwischen wechseln sich Treffer und Fehlschüsse ab.
3) Der erste Schuss ist ein Treffer, der letzte Schuss ist ein Treffer, dazwischen gibt es genau einen doppelten Fehlschuss und sonst nur einzelne Fehlschüsse.
Das müssen wir nun in Wahrscheinlichkeiten fassen:
$$p_1=\underbrace{\frac34\cdot\frac14\cdot\frac34\cdot\frac14\cdots\frac34\cdot\frac14}_{=\text{50 Faktoren}}=\left(\frac34\right)^{25}\left(\frac14\right)^{25}=\frac{3^{25}}{4^{50}}$$
$$p_2=\underbrace{\frac14\cdot\frac34\cdot\frac14\cdots\frac34\cdot\frac14\cdot\frac34}_{=\text{50 Faktoren}}=\left(\frac14\right)^{25}\left(\frac34\right)^{25}=\frac{3^{25}}{4^{50}}$$
Bei \(p_3\) müssen wir uns klar machen, dass es \(24\) Möglichkeiten gibt, an denen der Doppel-Fehlschuss liegen kann. Zur Berechnung nehmen wir an, der Doppelfehler passiert direkt nach dem ersten Treffer. Um die 24 möglichen Positionen zu berücksichtigen, multiplizieren wir das Ergebnis mit 24:$$p_3=24\cdot\underbrace{\frac34\cdot\left(\frac14\cdot\frac14\right)\cdot\frac34\cdot\frac14\cdots\frac34}_{=\text{50 Faktoren}}=24\cdot\frac{3^{25}}{4^{50}}$$Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist daher:$$p=p_1+p_2+p_3=26\cdot\frac{3^{25}}{4^{50}}\approx1,7378\cdot10^{-17}$$
