Untersuchen Sie die folgenden uneigentlichen Integrale auf Konvergenz und berechnen Sie gegebenenfalls ihren Wert

Question

Aufgabe:

(b) Untersuchen Sie die folgenden uneigentlichen Integrale auf Konvergenz und berechnen Sie gegebenenfalls ihren Wert:

(i) \( \int \limits_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{x^{2}+1} d x \),

(ii) \( \int \limits_{1}^{\infty}(x+1) \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x \).

Problem/Ansatz:

Hier ist mein Problem, dass das Integral nicht von 1 (Foto) bis unendlich sondern von minus unendlich bis plus unendlich gegeben ist, was muss ich jetzt machen um auf Konvergenz zu prüfen?

Weil Alpha ist ja schon größer als 1.

2. wichtige Vergleichsfunktionen:

- \( \int \limits_{0}^{1} \frac{1}{x^{\alpha}} d x \) ist konvergent \( \Leftrightarrow \alpha<1 \)

- \( \int \limits_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{\alpha}} d x \) ist konvergent \( \Leftrightarrow \alpha>1 \)

Comments

Zur Kontrolle für Integrale:

https://www.integralrechner.de/

Answer 1

Hallo.

Zu deiner Frage in a). Berechne erstmal die Stammdunktion.

Substituiere x^2 + 1 =: u, dann ist du/dx = 2x, also gilt dx = du/2x. Für das unbestimmte Integral folgt dann also

 ∫ x / (x^2 + 1) dx = ∫ (x / u)(du / 2x) = 1/2  ∫ du/u

= 1/2 ln(u) = 1/2 ln(x^2 + 1).

Es gilt also  ∫ x / (1+x^2) = (1/2) ln(1+x^2) + C. Nun existiert das uneigentliche Integralvon -inf bis inf bzw. in komplett |R, falls die beiden

Grenzwerte lim (x—> -inf) ((1/2)ln(1+x^2)) und

lim (x—> inf) ((1/2)ln(1+x^2)) existieren, d.h. endlich sind. Das tun sie aber nicht, da diese beide gegen inf divergieren. Also kannst du folgern, das das uneigentliche Integral divergiert und damit nicht existiert.

Comments

Und wie prüfe ich das Integral auf Konvergenz, bzw. wie soll ich das umschreiben, damit ich hier mein Alpha erkenne?

(ii) \( \int \limits_{1}^{\infty}(x+1) \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x \).

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Der Hinweis des Aufgabenstellers auf Vergleichsfunktionen legt die Vermutung nahe, dass die Lösung zu (bi) einfacher, nämlich ohne Berechnung des Integrals sondern durch Abschätzung gefunden werden kann.

Für große x-Werte spielt die 1 im Nenner der Integrandenfunktion fast keine Rolle mehr, diese wird also durch x/x^2 = 1/x angenähert werden können, was ein divergentes Integral impliziert. Man wird also eine Abschätzung der Form x/(x^2+1) > k/x für große x mit einem geeigneten k suchen.
Für x>1 ist 1/x^2<1 und daher 1+1/x^2 < 2. Aus (x^2+1)/x^2 < 2 folgt durch Kehrwertbildung und Division durch x die gesuchte Abschätzung x/(1+x^2) > 2/x.

Übrigens : Wenn das uneigentliche Integral existieren soll, dann müssen beide Grenzwerte lim_{a→-∞ a}∫⁰ f(x) dx als auch lim_{b→∞ 0}∫^b f(x) dx existieren.

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@Gasthj2166

Das passt gerade einfach nicht zu der Frage des FS gerade.

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@Sanam.nuri

Bei b) kannst du erstmal die Stammfunktion der Funktion durch partieller Integration bestimmen. Setze dabei u := (x+1) und v‘ := e^(-x) und nutze die Formel. Dad Integral zu e^(-x) wird auftauchen was du mit der Substitution u := -x einfach bestimmen kannst.

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Habe jetzt auch die Stammfunktion gebildet, aber was sagt das jetzt über die Konvergenz aus?

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Sei F deine gebildete Stammfunktion. Dann schaust du jetzt ob die beiden Grenzwerte

lim (x—>1) F(x) und lim (x—> inf) F(x) existieren. Analog wie oben, nur eben mit der Grenze 1 beim einen anstatt -inf. Falls sie existieren so existiert das uneiegenliche Integral und es hat den Wert

lim (x—>1) F(x) - lim(x —> inf) F(x), also die Differenz der beiden Grenzwerte.

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Paradebeispiel dafür, dass eine mehr oder weniger vorgerechnete Lösung nicht zum Verständnis beiträgt.

Es wurde bereits mehrfach gesagt, wann ein Integral konvergent ist: wenn die entsprechenden Grenzwerte existieren.

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Ich denke meine obige Antwort wird jetzt schon klar sein.

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@txman: Ist die Differenz bei " und es hat den Wert " nicht eher umgekehrt?

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Stimmt hast Recht. Richtig ist, falls die Grenzwerte existieren, so gilt für den Wert des uneigentlichen Integrals

lim (x—> inf) F(x) - lim (x—> 1) F(x)

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@Sunam.nuri

Das was ich nutze ist die hauptsächliche Definition des uneigentlichen Integrals. Schaue in deine Unterlagen und falls du Fragen hast, kannst du sie gerne hier weiter stellen :)

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Danke habe jetzt gerechnet, für i) gibt es keinen Grenzwert (also divergiert) und für ii) gibt es aber einen endlichen Grenzwert.