Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung und lösen Sie die Ungleichungen

Question

Analysis für Informatiker und Wirtschaftsinformatiker

Aufgabe 1:

Bestimmen Sie die Lösungsmenge von \( \frac{3 x+1}{4 x-6}+\frac{7 x+2}{6 x+9}=\frac{8 x^{2}-3 x+2}{4 x^{2}-9} \).

Aufgabe 2:

Lösen Sie folgende Ungleichungen:

a) rechnerisch

b) zeichnerisch

i) \( x^{2}+x-2>0 \)
ii) \( 2 x^{2}-x-3<0 \)
iii) \( x^{2}-2 x+1>0 \)
iv) \( 4 x^{2}+4 x+1<0 \)
v) \( x^{2}-2 x+5>0 \)
vi) \( x^{2}+4 x+5<0 \)

Answer 1

$$\frac { 3x+1 }{ 4x-6 } +\frac { 7x+2 }{ 6x+9 } =\frac { 8{ x }^{ 2 }-3x+2 }{ 4{ x }^{ 2 }-9 }$$$$\Leftrightarrow \frac { 3x+1 }{ 2(2x-3) } +\frac { 7x+2 }{ 3(2x+3) } =\frac { 8{ x }^{ 2 }-3x+2 }{ (2x+3)(2x-3) }$$ mit 6 multiplizieren:$$\Leftrightarrow \frac { 3(3x+1) }{ (2x-3) } +\frac { 2(7x+2) }{ (2x+3) } =\frac { 6(8{ x }^{ 2 }-3x+2) }{ (2x+3)(2x-3) }$$ Ersten Bruch mit 2x+3, zweiten Bruch mit 2x-3 erweitern:$$\Leftrightarrow \frac { 3(3x+1)(2x+3) }{ (2x-3)(2x+3) } +\frac { 2(7x+2)(2x-3) }{ (2x+3)(2x-3) } =\frac { 6(8{ x }^{ 2 }-3x+2) }{ (2x+3)(2x-3) }$$ Alle Nenner gleich, also nur die Zähler betrachten:$$\Leftrightarrow 3(3x+1)(2x+3)+2(7x+2)(2x-3)=6(8{ x }^{ 2 }-3x+2)$$$$\Leftrightarrow 3(6{ x }^{ 2 }+11x+3)+2(14{ x }^{ 2 }-17x-6)=48{ x }^{ 2 }-18x+12$$$$\Leftrightarrow 18{ x }^{ 2 }+33x+9+28{ x }^{ 2 }-34x-12=48{ x }^{ 2 }-18x+12$$$$\Leftrightarrow 46{ x }^{ 2 }-x-3=48{ x }^{ 2 }-18x+12$$$$\Leftrightarrow 0=2{ x }^{ 2 }-17x+15$$ Nun entweder Mitternachtsformel
oder Nullstelle x = 1 "raten" (sieht man "sofort"). Polynomdivision ergibt dann:$$\Leftrightarrow 0=(x-1)(2x-15)$$$$\Leftrightarrow x=1 \quad oder\quad \frac { 15 }{ 2 }$$

Comments

also gibt eine lösung
oder mehrere
oder keine lösung

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Es gibt die beiden Lösungen

x = 1

und

x = 15/2 = 7,5

wie JotEs und auch ich - weiter unten - gezeigt haben :-)

Sowohl x = 1 als auch x = 15 / 2 sind Lösungen der gegebenen Gleichung.

Answer 2

 

(3x + 1) / (4x - 6) + (7x + 2) / (6x + 9) = (8x² - 3x + 2) / (4x² - 9)

Es fällt zunächst auf, dass sich die Nenner sämtlicher Terme gleichen; deshalb können wir schreiben

(3x + 1) / [2 * (2x - 3)] + (7x + 2) / [3 * (2x + 3)] = (8x² - 3x + 2) / [(2x + 3) * (2x - 3)]

Wir erweitern entsprechend

(3x + 1) * (2x + 3) / [2 * (2x - 3) * (2x + 3)] + (7x + 2) * (2x - 3) / [3 * (2x + 3) * (2x - 3)] = (8x² - 3x + 2) / [(2x + 3) * (2x - 3)]

Wenn wir jetzt noch den Nenner aller Brüche auf 6 * (2x - 3) * (2x + 3) bringen, können wir beide Seiten des Gleichheitszeichens mit diesem Nenner multiplizieren und erhalten:

(3x + 1) * (2x + 3) * 3 + (7x + 2) * (2x - 3) * 2 = (8x² - 3x + 2) * 6

(6x² + 9x + 2x + 3) * 3 + (14x² - 21x + 4x - 6) * 2 = 48x² - 18x + 12

18x² + 33x + 9 + 28x² - 34x - 12 = 48x² - 18x + 12

18x² + 28x² - 48x² + 33x - 34x + 18x + 9 - 12 - 12 = 0

-2x² + 17x - 15 = 0 | : (-2)

x² - 17/2 * x + 15/2 = 0

x_1,2 = 17/4 ± √(289/16 - 120/16) = 17/4 ± 13/4

x₁ = 7,5

x₂ = 1

 

Auf die Probe habe ich jetzt keine Lust :-D

 

Besten Gruß

Comments

Dankeschön mein bester

nur noch eine frage hat eine lösung oder mehrere oder keine lösung

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Gern geschehen :-)

Es gibt zwei Lösungen:

x₁ = 1

und

x₂ = 15/2 = 7,5

 

(Was ich x₁ und was ich x₂ nenne, ist egal - die Lösungen sind 1 und 7,5)