Untervektorraum Komplement aufgabe

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Aufabe 3.6
Finden See ein Komplement tue
\( U_{3:}=\left\{x \in \mathbb{R}^{5} \mid \cdot x_{1}=x_{2}, 2 x_{3}-x_{4}+x_{5}=0\right\} \text { in } \mathbb{R}^{5} \)

Weisen Sie nach, doss es sich tatriachlich um ein /Complement handele.
\( \begin{array}{l} \left.U_{3}=\left\{t_{4} \cdot\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)+t_{2}\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)+t_{3} \cdot\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)\right\} \quad \begin{array}{l} 2 t_{3} \cdot t_{3} \\ x_{3} \end{array}\right)=x_{4} \\ \Rightarrow \operatorname{dim}\left(H_{3}\right)=3 \\ \operatorname{dim}(\dot{v})=\operatorname{dim}\left(U_{3}\right)+\operatorname{dim}\left(U_{3}^{\prime}\right) \Leftrightarrow 5=3+2 \\ \Rightarrow \operatorname{din}\left(U_{3}^{\prime}\right)=2 \end{array} \)
\( z_{2}: U_{3}^{\prime}=\left\langle\dot{e}_{1}, e_{4}\right\rangle \) Komplement von \( \ell_{3} \)
\( \begin{array}{l} \text { Rrife linear ilnathangighiof: } \end{array} \)
\( \begin{array}{l} A \leadsto A^{\prime}(A \operatorname{in} 2 S F) \Rightarrow \operatorname{Rang}(A)=R_{\text {ang }}\left(A^{\prime}\right)=5 \end{array} \)

Problem/Ansatz:

Hallo, ich übe gerade für eine Klausur, hier ist eine von mir gelöste Aufgabe, kann jemand drüber schauen und eventuell Anmerkungen oder Fehler finden?

Comments

Gelöschter Kommemtar

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Siehe nochmal unten mein bearbeiteten Kommentar.

Answer 1

Hallo.

Ist richtig. Hier nochmal eine Alternative/

Vorab bezeichne ich U_3 mal als U.

Sei (x,y,z,t,w)^T ∈ U beliebig, dann gilt ja nach Definition x = y & 2z-t+w = 0. D.h. wir schreiben x = y so wie auch w = t-2z. Wir können also den obigen Vektor zerlegen als

(x,y,z,t,w)^T = (x,x,z,t, t-2z)^T

= x (1,1,0,0,0)^T + z (0,0,1,0,-2)^T

+ t (0,0,0,1,1)^T mit x,z,t ∈ |R.

D.h. alle Vektoren in U können durch dem Vektoren (1,1,0,0,0)^T, (0,0,1,0,-2)^T und (0,0,0,1,1)^T dargestellt werden.

Der Rest geht analog.

Comments

Und was hat der FS nun bitte falsch gemacht? Es wäre schon sinnvoll, ihm sowas auch mitzuteilen.

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Hab ich jetzt gemacht, danke! :)

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Der Vektor (0,0,1,2,0)T als Teil der Basis von U_3 ist falsch.

Sehe ich anders, die vom FS angegebene Basis ist richtig. Nur weil man es auch anders machen kann, ist das nicht falsch.

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Der Vektor (0,0,1,2,0)^T als Teil der Basis von U_3 ist falsch. Das muss der Vektor (0,0,1,0,-2)^T sein.

Um es mal mit deinen Worten zu sagen: Unsinn. Du weißt hoffentlich, dass eine Basis nicht eindeutig ist.

Mit der Zerlegung \((x, x, y, 2y+z, z)^T=x(1,1, 0, 0, 0)^T+y(0, 0, 1, 2, 0)^T+z(0, 0, 0, 1, 1)^T\) erhält man ebenso eine Basis. Der FS hat hier also nichts falsch gemacht.

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@nudger Es kann stimmen, das diese Basis vom FS zufällig stimmt. Jedoch geht es um den Weg dahin und den sehe ich erstens nicht und zweitens bin ich mir auch sicher das der FS meinen Ansatz machte und sich da suptil verrechnet hat. Das die Basis von ihm stimmt, ist jetzt eine Glückssache aber keine Mathematik, da es hier eher um den Weg dahin geht.

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Eindeutiger geht es doch gar nicht! Die Rechnung ist doch da. Erneut suchst du wieder nur Ausreden. Vielleicht hat er es nicht so aufgeschrieben wie du, aber es ist ersichtlich, was seine Gedankengänge waren. Ihm dann zu sagen, er hat etwas falsch gemacht, weil man sich das nicht genau anschaut und es nicht der eigenen Lösung entspricht, ist keine adäquate Hilfe.

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@Apfelmännchen Das hatte ich übersehen

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Habe es bearbeitet.

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Im übrigen ist U3 als LM eines LGS mit zwei (offensichtlich unabhängigen) Gleichungen gegeben, woraus sofort dim U3=3 folgt. Drei für eine Basis nötige lin. unabh. Vektoren findet man dann leicht durch geschicktes Ausprobieren, da muss man nicht wirklich rechnen.

Answer 2

Lass dich nicht von der anderen Antwort verunsichern. Deine Rechnung ist in Ordnung. Das einzige, was unschön ist, ist die letzte Schlussfolgerung: Es ist nicht \(U'_3\) linear unabhängig, sondern die Menge der entsprechenden Vektoren. Da solltest du die Formulierung noch anpassen.

Comments

Meine Antwort ist jetzz bearbeitet. Du kannst also deinen ersten Satz löschen.