Komplement zu Untervektorraum finden

Question

Aufgabe:

Im Vektorraum \( \mathbb{Q^3} \) sei der UVR \( U_1 = \langle (0, -1, 1), (1, 2, 0)  \rangle \) gegeben. Berechnen Sie ein Komplement zu \( U_1 \).

Ich bin, wie hier beschrieben vorgegangen, habe also \( U_1 \) zu einer Basis ergänzt. Meine Rechnung:

\( \begin{pmatrix} 0&&-1&&1 \\ 1 && 2&&0 \\ 0 && 0 && 0 \end{pmatrix} \overset{...}{\rightsquigarrow}  \begin{pmatrix} 1&&0&&2 \\ 0 && 1&&-1 \\ 0 && 0 && 0 \end{pmatrix} \)

Fragen dazu:

Sagt mir das nun, dass \( W = \langle (0, 0, 1) \rangle \) ein Komplement zu \( U_1 \) ist? Also \( U_1  \oplus W = \mathbb{Q^3} \) ?

Auf der Seite ist außerdem unten der Abschnitt "Falls nötig: Modifiziere die Vektoren entsprechend" aufgeführt. Dort wird davon gesprochen, die Einträge nach der 1 zu modifizieren, wenn es Bedingungen an die Vektoren gibt. Doch was ist wenn mein gefundener Vektor als letzten Eintrag 1 hat, z.B \( \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \), doch die Bedingung \( x_1 + x_2 + x_3 = 0 \) ist. Dann gibt es ja keine Einträge nach der eins die ich modifizieren könnte. Oder würde es gar nicht zu so einer Situation kommen?

Answer 1

Hallo

 1. dein gefundener Vektor ist wirklich im Lomplement

 wenn die Bed x1+x2+x3=0 wäre müsstest du eben nen anderen finden  etwa (1,0,-1) oder (1,-2,1)

(wenn allerdings schon in deine UR die Gleichung erfüllt wäre für alle, dann fändest du keinen im Komplement)

Gruß lul

Comments

Dieses Verfahren, also zwei Vektoren als Zeilen in eine Matrix schreiben, um sie zu einer Basis zu ergänzen, wurde in der Vorlesung nicht behandelt. Kann ich das Verfahren in einer Klausur trotzdem verwenden, wenn ich zB am Ende noch angebe, dass die neue Menge an Vektoren lin.unabh. ist und damit eine Basis? Oder ist generell davon abzuraten, in einer Klausur nicht besprochene Verfahren zu verwenden?