Hallo,
sei $$\{u_1,\cdots,u_r\}$$ eine Basis von U, wobei die ui normiert sind, also
(ui|ui)=1 erfüllen. Zu jedem Vektor v in V definiere die Projektion von v auf U durch$$p_U(v)=\sum_{i=1}^r(v|u_i)u_i\in U$$ Dann gilt $$v=p_U(v)+(id - p_U)(v).$$ Wir müssen also noch zeigen, dass $$(id-p_U)(v)\in U^{\perp}$$ gilt: Für jedes j=1,...,r haben wir $$((id-p_U)(v)|u_j)=((v-\sum_{i=1}^r(v|u_i)u_i)|u_j)=(v|u_j)-(v|u_j)=0\\wegen\; (u_i|u_j)=\delta_{ij}$$
Damit ist die Zerlegung gezeigt.
Gruß ermanus